Seilias

Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις την σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων. Έχεις την δυνατότητα να μεταβάλεις την συχνότητα το πλάτος και την αρχική φάση κάθε ταλάντωσης. Την αλλαγή της αρχικής φάσης εκτός από το σύνθετο πλαίσιο μπορείς να την μεταβάλεις σύροντας τα περιστρεφόμενα διανύσματα στο πάνω σχήμα. Αν είναι τσεκαρισμένη η επιλογή 'Επικάλυψη' τότε οι απομακρύνσεις σχεδιάζονται σε κοινό διάγραμμα για άμεση σύγκριση. Έχεις επίσης την δυνατότητα να σύρεις την κατακόρυφη γραμμή και να καθορίσεις την χρονική στιγμή.

Κατεβάστε την εφαρμογή για λειτουργία σε τοπικό επίπεδο χωρίς να απαιτείται σύνδεση στο Internet.

Download

Α. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων τις ίδιας συχνότητας

Έστω ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις

Παρατήρηση : Αν και οι δύο εξισώσεις παρουσιάζουν αρχική φάση μπορούμε να τις ανάγουμε στην παραπάνω περίπτωση με αλλαγή μεταβλητής ως εξής

$$x_1=A_1\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_1),$$ $$x_2=A_2\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_2)$$

θέτοντας $ωt+φ_1=ωt' ⇔ωt=ωt'-φ_1$. Τότε οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται

οι οποίες είναι της ίδιας μορφής με τις αρχικές εξισώσεις

Η απομάκρυνση του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι

η οποία μπορεί να γραφεί με την μορφή

με πλάτος

και $θ$ μια γωνία για την οποία

Συνηθίζουμε στην Φυσική να υπολογίζουμε την $\mathsf{\,εφ\,}θ$ Για να προσδιοριστεί όμως επακριβώς η γωνία πρέπει να είμαστε προσεκτικοί (δες την παρατήρηση)

Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας οδηγεί επίσης σε απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας.

Παρατήρηση

Από την εξίσωση $(3)$ δεν μπορεί να προσδιοριστεί μονότιμα η γωνία $θ$ γιατί και η γωνία $π+θ$ έχει την ίδια εφαπτομένη $\mathsf{\,εφ\,}(π+θ)=\mathsf{\,εφ\,}θ$. Αν όμως γνωρίζουμε το $\mathsf{\,ημ\,}θ$ και το $\mathsf{\,συν\,}θ$ μπορούμε να προσδιορίσουμε το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η γωνία άρα και την γωνία.

Αφού δεν μπορούμε να στηριχθούμε στην εξίσωση $(3)$ γιατί επιμένουμε σε αυτήν; Η απάντηση είναι πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την γωνία $θ$ με την προϋπόθεση όμως να υπολογίσουμε την γωνία που σχηματίζει ένα σημείο με συντεταγμένες $y=A_2\mathsf{\,ημ\,}φ$ και $x=A_1+A_2\mathsf{\,συν\,}φ$. Έτσι αν δεν κάνουμε αλγεβρικές πράξεις με τα πρόσημα, τότε από το πρόσημο του αριθμητική που παριστάνει το $\mathsf{\,ημ\,}θ$ και το πρόσημο του παρονομαστή που παριστάνει το $\mathsf{\,συν\,}θ$ μπορούμε να βρούμε το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. πχ ας υποθέσουμε ότι μετά από πράξεις βρήκαμε πως $A_2\mathsf{\,ημ\,}φ=-1$ ενώ $A_1+A_2\mathsf{\,συν\,}φ=+1$ (τέτοια περίπτωση έχουμε όταν πχ η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι $φ=\frac{3π}{2}$) τότε

τότε ψάχνουμε να βρούμε γωνία για την οποία το $\mathsf{\,ημ\,}θ\lt 0$ (αριθμητής) και $\mathsf{\,συν\,}θ\gt 0$ (παρονομαστής) και η εφαπτομένη της είναι $\mathsf{\,εφ\,}θ=-1$. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει η γωνία να βρίσκεται στο 4^ο τεταρτημόριο άρα $θ=2π-\frac{π}{4}=\frac{7π}{4}$.

Κατεβάστε από τον παρακάτω σύνδεσμο σημειώσεις πάνω στο συγκεκριμένο θέμα με κάποια λυμένα παραδείγματα.