Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Πόσο γρήγορα κινούνται τα ηλεκτρόνια μέσα στα σύρματα όταν τα τελευταία διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα;

Ένα χιλιοστό στο δευτερόλεπτο, τόσο γρήγορα όσο και τα σαλιγκάρια!

Και τότε γιατί ανάβει αμέσως η λάμπα όταν ανάβουμε το φως;

Γιατί μέσα στα καλώδια υπάρχουν παντού ηλεκτρόνια και αρχίζουν να κινούνται ταυτόχρονα. Δεν χρειάζεται δηλαδή ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κοντά στον διακόπτη να φτάσει στην λάμπα για να ανάψει. Η διαταγή να κινηθούν όλα ταυτόχρονα (όταν πιέσουμε τον διακόπτη) μεταδίδεται με την ταχύτητα του φωτός.

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Ταλαντώσεις και Κύματα arrow Σύνθεση Ταλαντώσεων - HTML5
Σεπ
14
2018
Σύνθεση Ταλαντώσεων - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(4 ψήφοι)

Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις την σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων. Έχεις την δυνατότητα να μεταβάλεις την συχνότητα το πλάτος και την αρχική φάση κάθε ταλάντωσης. Την αλλαγή της αρχικής φάσης εκτός από το σύνθετο πλαίσιο μπορείς να την μεταβάλεις σύροντας τα περιστρεφόμενα διανύσματα στο πάνω σχήμα. Αν είναι τσεκαρισμένη η επιλογή 'Επικάλυψη' τότε οι απομακρύνσεις σχεδιάζονται σε κοινό διάγραμμα για άμεση σύγκριση. Έχεις επίσης την δυνατότητα να σύρεις την κατακόρυφη γραμμή και να καθορίσεις την χρονική στιγμή.

Κατεβάστε την εφαρμογή για λειτουργία σε τοπικό επίπεδο χωρίς να απαιτείται σύνδεση στο Internet.

Α. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων τις ίδιας συχνότητας

Έστω ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις

$$x_1=A_1\mathsf{\,ημ}(ωt),$$ $$x_2=A_2\mathsf{\,ημ}(ωt+φ)$$

Παρατήρηση : Αν και οι δύο εξισώσεις παρουσιάζουν αρχική φάση μπορούμε να τις ανάγουμε στην παραπάνω περίπτωση με αλλαγή μεταβλητής ως εξής

$$x_1=A_1\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_1),$$ $$x_2=A_2\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_2)$$

θέτοντας $ωt+φ_1=ωt' ⇔ωt=ωt'-φ_1$. Τότε οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται

$$x_1=A_1\mathsf{\,ημ}(ωt'),$$ $$x_2=A_2\mathsf{\,ημ}(ωt'+φ_2-φ_1) ⇔x_2=A_2\mathsf{\,ημ}(ωt'+φ)$$

οι οποίες είναι της ίδιας μορφής με τις αρχικές εξισώσεις

Η απομάκρυνση του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι

$$x=x_1+x_2$$ $$x_1=A_1\mathsf{\,ημ}(ωt)+A_2\mathsf{\,ημ}(ωt+φ)$$

η οποία μπορεί να γραφεί με την μορφή

 

$$x=A\mathsf{\,ημ}(ωt+θ)$$

$$(1)$$

με πλάτος

 

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\mathsf{\,συν\,}φ}$$

$$(2)$$

και $θ$ μια γωνία για την οποία

$$\mathsf{\,συν\,}θ=\frac{A_1+A_2\mathsf{\,συν\,}φ}{A},$$ $$\mathsf{\,ημ\,}θ=\frac{A_2\mathsf{\,ημ\,}φ}{A}$$

Συνηθίζουμε στην Φυσική να υπολογίζουμε την $\mathsf{\,εφ\,}θ$ Για να προσδιοριστεί όμως επακριβώς η γωνία πρέπει να είμαστε προσεκτικοί (δες την παρατήρηση)

 

$$\mathsf{\,εφ\,}θ=\frac{A_2\mathsf{\,ημ\,}φ}{A_1+A_2\mathsf{\,συν\,}φ}$$

$$(3)$$

Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας οδηγεί επίσης σε απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας.

Παρατήρηση

Από την εξίσωση $(3)$ δεν μπορεί να προσδιοριστεί μονότιμα η γωνία $θ$ γιατί και η γωνία $π+θ$ έχει την ίδια εφαπτομένη $\mathsf{\,εφ\,}(π+θ)=\mathsf{\,εφ\,}θ$. Αν όμως γνωρίζουμε το $\mathsf{\,ημ\,}θ$ και το $\mathsf{\,συν\,}θ$ μπορούμε να προσδιορίσουμε το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η γωνία άρα και την γωνία.

Αφού δεν μπορούμε να στηριχθούμε στην εξίσωση $(3)$ γιατί επιμένουμε σε αυτήν; Η απάντηση είναι πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την γωνία $θ$ με την προϋπόθεση όμως να υπολογίσουμε την γωνία που σχηματίζει ένα σημείο με συντεταγμένες $y=A_2\mathsf{\,ημ\,}φ$ και $x=A_1+A_2\mathsf{\,συν\,}φ$. Έτσι αν δεν κάνουμε αλγεβρικές πράξεις με τα πρόσημα, τότε από το πρόσημο του αριθμητική που παριστάνει το $\mathsf{\,ημ\,}θ$ και το πρόσημο του παρονομαστή που παριστάνει το $\mathsf{\,συν\,}θ$ μπορούμε να βρούμε το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. πχ ας υποθέσουμε ότι μετά από πράξεις βρήκαμε πως $A_2\mathsf{\,ημ\,}φ=-1$ ενώ $A_1+A_2\mathsf{\,συν\,}φ=+1$ (τέτοια περίπτωση έχουμε όταν πχ η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι $φ=\frac{3π}{2}$) τότε

$$\mathsf{\,εφ\,}θ=\frac{-1}{+1}$$

τότε ψάχνουμε να βρούμε γωνία για την οποία το $\mathsf{\,ημ\,}θ\lt 0$ (αριθμητής) και $\mathsf{\,συν\,}θ\gt 0$ (παρονομαστής) και η εφαπτομένη της είναι $\mathsf{\,εφ\,}θ=-1$. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει η γωνία να βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο άρα $θ=2π-\frac{π}{4}=\frac{7π}{4}$.

Κατεβάστε από τον παρακάτω σύνδεσμο σημειώσεις πάνω στο συγκεκριμένο θέμα με κάποια λυμένα παραδείγματα.

Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 
Ψαρουδάκης Δημήτρης   |2.84.118.xxx |19-Sep-2018 17:28:20
Επιτέλους ένας τρόπος για να καταλάβουν οι μαθητές τη σύνθεση ταλαντώσεων!

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 06.11.19 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ταλαντώσεις και Κύματα

Ηλεκτρομαγνητισμός

Οπτική

 
Joomla Templates by Joomlashack