Νοέ
15
2019
|
| |||
|
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση μιας αρθρωμένης ράβδου όταν σε αυτήν ενεργεί μια δύναμη σταθερού μέτρου. Μπορούμε να σύρουμε την ράβδο για να αλλάξουμε την αρχική της θέση καθώς επίσης και το διάνυσμα της δύναμης.
Έργο δύναμηςΤο έργο μιας σταθερής δύναμης $\vec F=\left(F_x,F_y\right)$ για μετατόπιση $\vec s=\left(Δx,Δy\right)$ ορίζεται από το εσωτερικό γινόμενο των δύο μεγεθών δηλαδή $$W_F=\vec F\cdot\vec s$$ Παρατήρηση: Στην διεθνή βιβλιογραφία με το σύμβολο $s$ συμβολίζεται το μήκος τόξου αλλά και η μετατόπιση $\vec s$. Εδώ χρησιμοποιείται με την έννοια της μετατόπισης. Η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με $$W_F=\left| {\vec F} \right|\left| {\vec s} \right|\mathsf{\,συν\,}θ$$ ή $$W_F=F_xΔx+F_yΔy$$Αν η μετατόπιση περιορίζεται μόνο στον άξονα $xx'$ δηλαδή όταν $Δy=0$ τότε
Από την εξίσωση $(1)$ συμπαιρένουμε πως το έργο της δύναμης $\vec F$ είναι ίσο με το έργο της συνιστώσας της πάνω στην μετατόπιση. Αν η δύναμη δεν είναι σταθερή τότε η παραπάνω εξίσωση ισχύει μόνο για στοιχειώδεις μετατοπίσεις δηλαδή το στοιχειώδες έργο $dW_F$ για μια πολύ μικρή μετατόπιση $dx$ είναι $$dW_F=F_xdx$$ Αν θέλουμε να βρούμε το έργο μιας μη σταθερής δύναμης για μια μετατόπιση $Δx$ (όχι απειροστή) τότε χωρίζουμε την μετατόπιση σε πολύ μικρές μετατοπίσεις $dx$, υπολογίζουμε το στοιχειώδες έργο σε κάθε μια μικρή μετατόπιση και το άθροισμα όλων των μικρών αυτών έργων αποτελεί το έργο της δύναμης. $$W_F=dW_1+dW_2+\dots=F_{x(1)}dx_1+F_{x(2)}dx_2+\cdots$$Γεωμετρικά το παραπάνω άθροισμα εκφράζει το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται από την γραφική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την θέση, του άξονα $xx'$ της αρχικής θέσης $x_1$ και της τελικής θέσης $x_2$.
Έργο στην περιστροφική κίνησηΣτο παρακάτω σχήμα μια δύναμη $\vec F$ είναι κάθετη στο άκρο μιας ράβδου η οποία κάνει στροφική κίνηση γύρω από ένα σημείο $Ο$. Το ζητούμενο είναι το έργο της δύναμης για μια γωνιακή μετατόπιση $Δθ$.
Όταν ένα στερό κινείται τότε κάθε σημείο του έχει διαφορετική μετατόπιση. Όταν θα υπολογίζουμε το έργο μιας δύναμης κατά την κίνηση ενός στερεού τότε μας ενδιαφέρει η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης ΈΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ = ΔΥΝΑΜΗ x ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Το στοιχειώδες έργο της δύναμης $\vec F$ για μετατόπιση $ds$ είναι $$dW_F=Fds$$ $$dW_F=F\ell dθ$$
όπου $τ$ η ροπή της δύναμης $\vec F$ ως προς το σημείο $Ο$. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης για μια γωνιακή μετατόπιση $Δθ$ (όχι στοιχειώδη) τότε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα. Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή τότε
Η ισχύς της δύναμης $\vec F$ είναι $$P_F=\frac{dW_F}{dt}$$ $$P_F=\frac{τ\,dθ}{dt}$$
Παρατηρήσεις: Παράδειγμα
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται με κατακόρυφη ράβδος μάζας $M$. Στο άκρο $Α$ της ράβδου ενεργεί σταθερή δύναμη $\vec F$ η οποία είναι συνεχώς κάθετη στην ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται κατά γωνία $Δθ=\frac{π}{2}$ και έρχεται σε οριζόντια θέση. Να υπολογιστούν
ΛύσηΕπειδή το βάρος είναι σταθερή δύναμη μπορούμε να το υπολογίσουμε μέσω της εξίσωσης $$W_w=-Mg\frac{\ell}{2}$$Αν προσπαθούσαμε να υπολογίσουμε το έργο του βάρους μέσω της στροφικής κίνησης τότε δεν μπορούμε μέσω της εξίσωσης $(3)$ γιατί η ροπή του βάρους δεν είναι σταθερή. Όμως το στοιχειώδες έργο είναι $$dW_w=-Mg\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,}θ\,dθ$$ Για να βρούμε το έργο του βάρους θα πρέπει να προσθέσουμε τα στοιχειώδη έργα μέχρι την οριζόντια θέση. Αποδεικνύεται με μαθηματικά $\left(\int\limits_0^{\pi /2} {\mathsf{ημ\,}θ\, d\theta }=1\right) $ ότι προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα $W_w=-Mg\frac{\ell}{2}$. Η ισχύς του βάρους μπορεί να υπολογιστεί απο την εξίσωση $(4)$ και είναι $$P_w=\frac {dW_w}{dt}$$ $$P_w=-Mg\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,}θ\,ω$$ Η ισχύς του βάρους Θα μπορούσε να υπολογιστεί και μέσω της εξίσωσης $P_F=\vec F\cdot \vec υ$ ή $P_F=F_xυ$ $$P_w=-w_xυ_Κ$$ $$P_w=-Mg\mathsf{\,ημ\,}θ\,υ_Κ$$ $$P_w=-Mg\mathsf{\,ημ\,}θ\,ω\frac{\ell}{2}$$ $$P_w=-Mg\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,}θ\,ω$$ Καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμαΤο έργο της δύναμης $\vec F$ υπολογίζεται από την εξίσωση $(3)$ γιατί η ροπή της είναι σταθερή και είναι $$W_F=τ\,Δθ$$ $$W_F=F\ell\frac{π}{2}$$ Η ισχύς της δύναμης $\vec F$ είναι $$P_F=τ\,ω$$ $$P_F=F\ell ω$$ |
| Σχόλια |
|