Ένας κύλινδρος μάζας m=1 kg και ακτίνας R=1m βρίσκεται πάνω σε μία σανίδα μάζας M=1 kg το ένα άκρο της οποίας είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k=48 N/m. Απομακρύνουμε την σανίδα από την θέση ισορροπίας του κατά 4,5 m και τον αφήνουμε ελεύθερο.
α) Αν ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει να αποδείξετε ότι η σανίδα και ο κύλινδρος εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση με ίδια περίοδο και να υπολογιστεί.
β) Nα δειχθεί ότι το πλάτος της ταλάντωσης του κυλίνδρου είναι ίσο με το ⅓ του πλάτους της ταλάντωσης του της σανίδας.

Πλήρη Οθόνη

Λύση

Για τον κύλινδρο

Από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για την στροφική κίνηση

Από την (1) και (2) προκύπτει

Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην σανίδα θα πρέπει η συνιστώσα της επιτάχυνση του κατώτερου σημείου του κυλίνδρου η οποία είναι παράλληλη με την σανίδα θα πρέπει να έχει την ίδια επιτάχυνση με την σανίδα.

Για την σανίδα ισχύει

Άρα η σανίδα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με

από (4) και την (5) προκύπτει

Έτσι ο κύλινδρος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με την ίδια συχνότητα αλλά με πλάτος ίσο με το ⅓ του πλάτους της σανίδας