Α. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων τις ίδιας συχνότηταςΈστω ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002.gif)
Παρατήρηση : Αν και οι δύο εξισώσεις παρουσιάζουν αρχική φάση μπορούμε να τις ανάγουμε στην παραπάνω περίπτωση με αλλαγή μεταβλητής ως εξής ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0001.gif)
![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0002.gif)
θέτοντας τότε οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0004.gif)
![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0005.gif)
η οποία είναι της ίδιας μορφής με τις αρχικές εξισώσεις Η απομάκρυνση του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0006.gif)
![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0007.gif)
Η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιώντας τις γνώσεις από τα μαθηματικά ημ(α+β)=ημασυνβ+ημβσυνα ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0008.gif)
![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0009.gif)
Η άλγεβρα Β λυκείου μας λέει ότι η συνάρτηση ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0010.gif)
μπορεί να γραφεί με την μορφή ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0011.gif)
όπου ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0012.gif)
και φ μια γωνία που ικανοποιεί τις εξισώσεις ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0014.gif)
οπότε στην δική μας περίπτωση η εξίσωση ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0009.gif)
μπορεί να γραφεί με την μορφή ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0015.gif)
όπου ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0017.gif)
![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0018.gif)
(1)
και θ μια γωνία για την οποία ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0020.gif)
Παρατήρηση : Συνηθίζουμε να υπολογίζουμε την εφφ. Όμως όποτε απλοποιούμε υπερβολικά τα μαθηματικά συχνά το πληρώνουμε με ασάφειες δηλαδή υπολογίζοντας την ![](/images/stories/myvideos/sinthesi/sinthesi_clip_image002_0021.gif)
δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την γωνία θ γιατί και η γωνία π+θ έχει την ίδια εφαπτομένη (εφ(π+θ)=εφθ) ενώ αν γνωρίζουμε το ημφ και το συνφ μπορούμε να προσδιορίσουμε το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η γωνία
Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας οδηγεί επίσης σε απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας. |