|
Εφαρμογή με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση δύο σημειακών φορτίων. Μπορούμε να μεταβάλλουμε το φορτίο την μάζα την αρχική ταχύτητα και την θέση κάθε φορτίου και πατώντας το πλήκτρο play να δούμε την κίνησή τους. Μπορούμε με τον χάρακα να μετρήσουμε το μήκος των δυνάμεων για να επαληθεύσουμε τον 3ο Νόμο του Νεύτωνα. Με την χρήση του πληκτρολογίου μπορούμε να δώσουμε πολύ μικρές ή πολύ μεγάλες μάζες.
Στο σχήμα φαίνονται δύο θετικά φορτία $Q_1$ και $Q_2$ που αρχικά απέχουν μεταξύ τους απόσταση $r$ και κινούνται με ταχύτητες $υ_1$ και $υ_2$ το ζητούμενο είναι ποια η ελάχιστη απόσταση που θα πλησιάσουν μεταξύ τους;
Τα φορτία ασκούν το ένα δύναμη Coulomb στο άλλο. Οι δυνάμεις αυτές δεν είναι σταθερές με αποτέλεσμα και οι επιταχύνσεις τους να μην είναι σταθερές έτσι θα υπολογίσουμε την απόσταση εφαρμόζοντας το θεώρημα της διατήρησης της μηχανικής ενέργειας. Αν $r_{\rm{min}}$ είναι η ελάχιστη απόσταση τότε
$$K_{\mathsf{αρχ}}+U_{\mathsf{αρχ}}=K_{\mathsf{τελ}}+U_{\mathsf{τελ}}$$
|
$$\frac12 m_1υ_1^2 + \frac12 m_2υ_2^2 + k\frac{Q_1Q_2}{r} = \frac12 m_1{υ'}_1^2 + \frac12 m_2{υ'}_2^2 + k\frac{Q_1Q_2}{r_{\rm{min}}}$$ |
$$(1)$$ |
Θα πρέπει τώρα να μετατρέψουμε το ζητούμενο "ελάχιστη απόσταση ..." σε εξίσωση. Για να γίνει η απόσταση ελάχιστη (ή μέγιστη) θα πρέπει τα δύο σώματα να έχουν την ίδια ταχύτητα. Αν η ταχύτητες των δύο σωμάτων είναι διαφορετικές τότε τα δύο σώματα ή θα πλησιάζουν ή θα απομακρύνονται.
|
$$υ'_1 = υ'_2 = υ$$ |
$$(2)$$ |
οπότε από $(1)$ και $(2)$
|
$$\frac12 m_1υ_1^2 + \frac12 m_2υ_2^2 + k\frac{Q_1Q_2}{r} = \frac12 (m_1+m_2)υ^2 + k\frac{Q_1Q_2}{r_{\rm{min}}}$$ |
$$(3)$$ |
Όμως εκτός από την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας ισχύει και η διατήρηση της ορμής του συστήματος γιατί δεν ενεργούν σε αυτό εξωτερικές δυνάμεις. Οπότε
$$p_1+p_2=p'_1+p'_2$$
$$m_1υ_1+m_2υ_2=(m_1+m_2)υ$$
|
$$υ=\frac{m_1υ_1+m_2υ_2}{m_1+m_2}$$ |
$$(4)$$ |
Με αντικατάσταση έχουμε
$$υ=\frac{(10^{-3})(+3)+(10^{-3})(-3)}{2\cdot 10^{-3}}$$
$$υ=0\ \rm{m/s}$$
Η $(3)$ με αντικατάσταση γίνεται
$$\frac12 (10^{-3})(3^2)+\frac12 (10^{-3})(3^2)+(9\cdot 10^9)\frac{(1\cdot 10^{-6})(2\cdot 10^{-6})}{10}=0+(9\cdot 10^9)\frac{(1\cdot 10^{-6})(2\cdot 10^{-6})}{r_{\rm{min}}}$$
$$10.8\cdot 10^{-3} = \frac{18\cdot 10^{-3}}{r_{\rm{min}}}$$
|
$$r_{\rm{min}}=\frac53\ \rm{m}$$ |
$$(5)$$ |
| 
