|
Εφαρμογή με την οποία μπορείς να μελετήσεις την κίνηση ενός σώματος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Αν πατήσεις το πλήκτρο ρυθμίσεις εμφανίζεται ένα μενού απ' όπου μπορείς να ρυθμίσεις ποια διανύσματα θα εμφανίζονται. Μπορείς να σύρεις το σώμα, τον άξονα, την ταχύτητα και το βάρος του σώματος. Μπορείς να επιλέξεις συγκεκριμένα υλικά για να δεις τις διαφορές στην κίνηση σε κάθε περίπτωση.
Πρόβλημα
Εκτοξεύουμε ένα σώμα μάζας $m=2\ \rm{kg}$ πάνω σε ένα οριζόντιο δάπεδο με αρχική ταχύτητα $υ_0=8\ \rm{m/s}$. Αν το δάπεδο δεν είναι λείο και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι $μ=0.2$ ενώ ο συντελεστής στατικής τριβής $μ_\mathsf{σ}=0.6$ να βρεθούν
α) η επιτάχυνση του σώματος
β) η εξίσωση ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο
γ) η εξίσωση κίνησης
δ) ο χρόνος μέχρι το σώμα να σταματήσει
ε) η θέση του σώματος την χρονική στιγμή που σταματά
στ) η ελάχιστη οριζόντια δύναμη που πρέπει να ενεργήσει στο σώμα ώστε να μπορέσει να κινηθεί.
Λύση
α) Στο σώμα ενεργούν δυο δυνάμεις το βάρος και η δύναμη από το έδαφος. Η δύναμη από το έδαφος έχει δύο συνιστώσες η μια είναι κάθετη στην επιφάνεια επαφής και ονομάζεται κάθετη αντίδραση και συμβολίζεται με $N$ και η άλλη συνιστώσα (αν υπάρχει) είναι πάραλληλη με την επιφάνεια επαφής και ονομάζεται τριβή. Η τριβή μπορεί να είναι ολίσθησης όταν τα σύο σώματα δάπεδο και σώμα έχουν διαφορετικές ταχύτητες ή στατική τριβή όταν τα δύο σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα ή ισοδύναμα όταν το σώμα είναι ακίνητο ως προς το δάπεδο. Η τριβή ολίσθησης έχει κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας (ως προς το δάπεδο) του σώματος και μέτρο $T=μN$. Στον κατακόρυφο άξονα δεν παρατηρείται καμία επιτάχυνση με αποτέλεσμα η συνισταμένη των δυνάμεων να είναι μηδέν δηλαδή
$$\sum {{F_y} = 0} $$
$$N+(-mg)=0$$
Από τον δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα προκύπτει
$$\sum {{F_x} = ma} $$
$$(-T)=ma$$
$$-μN=ma$$
$$-μmg=ma$$
Με αντικατάσταση προκύπτει πως
$$a=-0.2\cdot 10$$
$$a=-2\ \mathrm{m/s^2}$$
β) Η εξίσωση της ταχύτητας θα είναι
$$υ=υ_0+at$$
|
$$υ=8-2t\ \left(\rm{S.I.}\right)$$ |
$$(3)$$ |
γ) Η εξίσωση κίνησης του σώματος θα είναι
$$x=x_0+υ_0t+\frac12 at^2$$
|
$$x=8t-t^2\ \left(\rm{S.I.}\right)$$ |
$$(4)$$ |
δ) Η χρονική στιγμή $t$ που σταματά το σώμα βρίσκεται όταν η ταχύτητα μηδενίζεται η ταχύτητα οπότε από την εξίσωση $(3)$ έχουμε
$$υ=0$$
$$8-2t=0$$
ε) Η θέση του σώματος την χρονική στιγμή που σταματά θα βρεθεί από την εξίσωση $(4)$ δηλαδή
$$x=8t-t^2$$
$$x=8\cdot 4-4^2$$
στ) Όταν ένα σώμα είναι ακίνητο πάνω σε μια επιφάνεια και η επιφάνεια δεν είναι λεία μπορεί να εμφανιστεί στατική τριβή. Η στατική τριβή προσπαθεί να κρατήσει το σώμα ακίνητο πάνω στην επιφάνεια. Για να βρούμε αν θα εμφανίζεται στατική τριβή και ποια είναι η κατεύθυνση θα ρωτάμε Προς ποια κατεύθυνση θα είχε κινηθεί το σώμα (ως προς την επιφάνεια) αν ΔΕΝ υπήρχε Τριβή; Η φορά της στατικής τριβής θα είναι αντίθετη της ταχύτητας που ΘΑ αποκτούσε το σώμα. Το μέτρο της δύναμης που μπορεί να ασκήσει το έδαφος έχει ένα όριο μια μέγιστη τριβή $T_{\mathsf{σ},\rm{max}}$. Το μέτρο της στατικής τριβής δεν έχει μια συγκεκριμένη τιμή αλλά κυμένεται μεταξύ του μηδενός και μιας μέγιστης στατικής τριβής που ονομάζεται και οριακή τριβή δηλαδή
$$T_\mathsf{σ}\le T_{\mathsf{σ},\rm{max}}$$
$$T_\mathsf{σ}\le μ_\mathsf{σ}N$$
Στην δική μας περίπτωση η μέγιστη στατική τριβή είναι
$$T_{\mathsf{σ},\rm{max}} = μ_\mathsf{σ}mg$$
$$T_{\mathsf{σ},\rm{max}} = 0.6\cdot 2\cdot 10$$
$$T_{\mathsf{σ},\rm{max}} = 12\ \rm{N}$$
Για να κινηθεί το σώμα πρέπει να ασκηθεί πάνω του δύναμη μεγαλύτερη από $12\ \rm N$
|
$$F > 12\ \rm{N}$$ |
$$(7)$$ |
| 
