|
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις την ελαστική κρούση δυο σφαιρών. Μπορείς να μετακινήσεις τις σφαίρες και να σύρεις τα διανύσματα των ταχυτήτων τους ώστε να καθορίσεις μέτρο της ταχύτητας κάθε σφαίρας.
Άσκηση
Στο σχήμα φαίνονται δύο σώματα με μάζες $m_1=4\ \mathrm{kg}$ και $m_2=1\ \mathrm{kg}$ με ταχύτητες $υ_1=5\ \mathrm{m/s}$ και $υ_2=-5\ \mathrm{m/s}$ αντίστοιχα. Αναμεσά τους υπάρχει ένα ελατήριο σταθεράς $k=200\ \mathrm{N/m}$ και τα δύο σώματα κινούνται πάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβές.
1. Να βρεθεί η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου.
2. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σωμάτων.
3. Τι θα άλλαζε αν η σταθερά του ελατηρίου ήταν μεγαλύτερη; π.χ. $k=5000\ \rm{N/m}$.
Λύση
1.
Μόλις θα αρχίσει να συσπειρώνεται το ελατήριο τα δύο σώματα θα αρχίσουν λόγω των δυνάμεων του ελατηρίου να εκτελούν επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα κάποιου σώματος. Στην περίπτωσή μας θα μηδενιστεί πρώτα η ταχύτητα του σώματος με την μικρότερη μάζα μια και έχουν αρχικά ίσες με μέτρο ταχύτητες. Μετά τον μηδενισμό της ταχύτητας του δεύτερου σώματος η δύναμη εξακολουθεί να ενεργεί προς την ίδια κατεύθυνση με αποτέλεσμα η ταχύτητα του να γίνει ομμόροπη της ταχύτητας του πρώτου σώματος. Η κίνηση του δεύτερου σώματος θα γίνει επιταχυνόμενη ενώ του πρώτου θα εξακολουθεί να είναι επιβραδυνόμενη. Όταν οι δύο ταχύτητες γίνουν ίσες τότε η απόσταση των σωμάτων θα είναι η μικρότερη και η συσπείρωση του ελατηρίου μέγιστη.
Αν $υ'_1=υ'_2=υ_\mathsf{κ}$ τότε $Δ\ell=\mathrm{max}$
Από την διατήρηση της ορμής προκύπτει
$$m_1υ_1+m_2υ_2=m_1υ_\mathsf{κ}+m_2υ_\mathsf{κ}$$
$$υ_\mathsf{κ}=\frac{m_1υ_1+m_2υ_2}{m_1+m_2}$$
$$υ_\mathsf{κ}=3\ \mathrm{m/s}$$
Από την διατήρηση της μηχανικής ενέργειας προκύπτει
$$K_\mathsf{αρχ}+U_\mathsf{αρχ}=K_\mathsf{τελ}+U_\mathsf{τελ}$$
$$\frac12 m_1υ_1^2+\frac12 m_2υ_2^2+0=\frac12 \left(m_1+m_2\right){υ_\mathsf{κ}}^2+\frac12 k {Δ\ell}_{\mathrm{max}}^2$$
$$\frac12\cdot 4\cdot5^2+\frac12\cdot 1\cdot(-5)^2=\frac12\cdot (4+1)\cdot 3^2+\frac12 \cdot 200\cdot {Δ\ell}_{\mathrm{max}}^2$$
$${Δ\ell}_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{2}{5}}$$
|
$${Δ\ell}_{\mathrm{max}}=63.2\ \mathrm{cm}$$ |
$$(1)$$ |
2.
Όταν το ελατήριο αποκτείσει ξανά το φυσικό του μήκος τότε τα δύο σώματα θα αποκτήσουν τις τελικές τους ταχύτητες. Αν εφαρμόσουμε την διατήρηση μεταξύ της αρχικής κατάστασης και της τελικής κατάστασης τότε
$$m_1υ_1+m_2υ_2=m_1υ_1'+m_2υ_2'$$
Επίσης από την διατήρηση της ενέργειας προκύπτει
$$\frac12 m_1υ_1^2+\frac12 m_2υ_2^2=\frac12 m_1υ{'_1}{^2}+\frac12 m_2υ{'_2}{^2}$$
Οι δύο τελευταίες εξισώσεις δεν είναι παρά οι εξισώσεις μιας ελαστικής κρούσης. Στην πραγματικότητα το παραπάνω φαινόμενο είναι μια ελαστική κρούση. Μόλις αρχίζει η συσπείρωση του ελατηρίου έχουμε σταδιακή μετατροπή κινητικής ενέργειας σε ελαστική δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης με μέγιστη τιμή όταν τα σώματα αποκτούν ίδια ταχύτητα. Στην συνέχεια η δυναμική ενέργεια αρχίζει να ελαττώνεται και μηδενίζεται όταν το ελατήριο αποκτήσει ξανά το φυσικό του μήκος. Η όλη διαδικασία μέσου του ελατηρίου είναι ισοδύναμη με μεταφορά κινητικής ενέργειας από το ένα σώμα στο άλλο.
Οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την "κρούση" θα είναι
$$υ'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}υ_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}υ_2$$
$$υ'_1=\frac{4-1}{4+1}\cdot 5+\frac{2\cdot 1}{4+1}\cdot(-5)$$
|
$$υ'_1=1\ \mathrm{m/s}$$ |
$$(2α)$$ |
$$υ'_2=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}υ_2+\frac{2m_1}{m_1+m_2}υ_1$$
$$υ'_2=\frac{1-4}{4+1}\cdot(-5)+\frac{2\cdot 4}{4+1}\cdot5$$
|
$$υ'_2=11\ \mathrm{m/s}$$ |
$$(2b)$$ |
3.
Αν η σταθερά του ελατηρίου ήταν μεγαλύτερη τότε το φαινόμενο θα διαρκούσε πολύ λιγότερο χρόνο και θα πλησίαζε το φαινόμενο της "κρούσης". Οι τελικές ταχύτητες θα ήταν οι ίδιες ανεξάρτητα από την σταθερά του ελατηρίου. Η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου θα ήταν όμως μικρότερη ${Δ\ell}_{\mathrm{max}}=12.7\ \mathrm{cm}$.
| 
Φυσική - HTML5 
