Η ράβδος του σχήματος έχει μάζα m = 12 kg, μήκος L = 2 m και σχηματίζει με το οριζόντιο έδαφος γωνία 60°. Αρχικά το κατώτερο άκρο της ράβδος απέχει από το έδαφος ύψος h = 3,2 m. Αφήνουμε την ράβδο να πέσει ελεύθερα και όταν φτάσει στο έδαφος συγκρούεται ελαστικά με αυτό. Να βρείτε την γωνιακή ταχύτητα και την ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται πως η κρούση διαρκεί ελάχιστα, τριβές δεν υπάρχουν και g = 10 m/s² , I_cm= mL²/12.

Πλήρη Οθόνη

Λύση

Έστω υ₀ η ταχύτητα και ω₀ η γωνιακή ταχύτητα την στιγμή που συγκρούεται με το έδαφος και υ,ω μετά την κρούση. Έστω F επίσης η δύναμη που δέχεται η ράβδος κατά την διάρκεια της κρούσης. τότε:

Από τον Νόμο του Νεύτωνα για την Στροφική Κίνηση η μεταβολή της στροφορμής στο χρονικό διάστημα dt θα είναι

όπου x η θέση στον άξονα x'x του σημείου επαφής.

Από τον Δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα η μεταβολή της ορμής στο ίδιο χρονικό διάστημα θα είναι

Συνδιάζοντας την (1) και την (2) προκύπτει

Επειδή η κρούση είναι ελαστική διατηρείται η Κινητική ενέργεια

Διαιρώντας τις εξισώσεις (3) και (4) προκύτει (με την προϋπόθεση ότι το x δεν είναι μηδέν)

Αντικαθιστώντας την (5) στην (3) και κάνοντας κάποιες αλγεβρικές πράξεις

προκύπτει

και μαζί με την εξίσωση (5)

προκύπτουν οι εξισώσεις που δίνουν την ταχύτητα του κέντρου μάζας και την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. (Με διατήρηση της ενέργειας βρίσκουμε την ταχύτητα πριν την κρούση υ₀ = 8 m/s και με αντικατάσταση προκύπτει υ = 8/7 = 1,143 m/s , ω = 96/7 = 13,712 rad/s)

Αν ράβδος πέσει παράλληλα ή κάθετα στο έδαφος τότε x = 0 και τότε από την (3) έχουμε ω = ω₀ και από την διατήρηση της κινητικής ενέργειας και ορμής υ = -υ₀