Seilias

• Πιέστε το πλήκτρο play για να αρχίσει η προσομοίωση.
• Πότε αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Σ;
• Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει το σημείο Σ όταν θα φτάσει και το δεύτερο κύμα;
• Στο σημείο Σ έχουμε ενισχυτική ή αποσβετική συμβολή;
• Μετακινήστε το σημείο Σ σε ένα κροσό συμβολής που χρωματίζεται με μπλε. Πόση είναι η διαφορά μηκών κύματος και πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου;
• Παρατηρήστε τα γραφήματα της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο.
• Σύρτε το σημείο Σ πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δύο πηγές αλλά σε σημείο έξω από το ευθύγραμμο τμήμα Ο₁Ο₂. Τι παρατηρείτε στο πλάτος τις ταλάντωσης του σημείου για τις διάφορες θέσεις του;

Πλήρη Οθόνη

Οι δύο πηγές Ο₁ και Ο₂ είναι σύμφωνες (Σύμφωνες ονομάζουμε δύο πηγές οι οποίες παρουσιάζουν σταθερή διαφορά φάσης. Στην περίπτωσή μας θεωρούμε ότι αυτή η σταθερή διαφορά φάσης είναι μηδέν) και τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζουν να ταλαντώνονται σύμφωνα με τις εξισώσεις

Μέσα στο μέσο διαδίδονται δύο κύματα που προέρχονται από τις πηγές Ο₁ και Ο₂. Τα δύο αυτά κύματα διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα (η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσο στο οποίο διαδίδεται). Ένα τυχαίο σημείο Σ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που καθορίζεται και από τα δύο κύματα που φτάνουν στο σημείο.Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συμβολή κυμάτων.

Έστω ότι το τυχαίο σημείο Σ απέχει απόσταση r₁ από την πηγή Ο₁ και r₂ από την πηγή Ο₂. Το κάθε κύμα που φτάνει στο σημείο Σ το αναγκάζει να εκτελέσει ταλάντωση που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις αντίστοιχα

Αν r₁>r₂ τότε στο σημείο Σ φτάνει πρώτο το κύμα που προέρχεται από την πηγή Ο₂. Στο χρονικό διάστημα μέχρι να φτάσει το πρώτο κύμα το σημείο Σ παραμένει ακίνητο, επειδή κανένα κύμα δεν έχει φτάσει σε αυτό το σημείο για να το αναγκάσει να ταλαντωθεί. Στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την στιγμή που έφτασε το πρώτο κύμα και μέχρι να φτάσει το δεύτερο κύμα το σημείο Σ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που οφείλεται αποκλειστικά στο πρώτο κύμα. Τέλος από την στιγμή που θα φτάσουν και τα δύο κύματα και έπειτα η ταλάντωση του σημείου οφείλεται και στα δύο κύματα. Έτσι αν οι χρονικές στιγμές που φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Σ είναι αντίστοιχα και θα ισχύει

Στην περίπτωση που έχουν φτάσει και τα δύο κύματα έχουμε

Γνωρίζουμε από τα μαθηματικά ότι , οπότε η τελευταία εξίσωση γράφεται

απ' όπου μετά από  πράξεις προκύπτει

Η παραπάνω εξίσωση είναι της μορφής

όπου   και  δηλαδή το κάθε σημείο εκτελεί  απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας με τις δύο πηγές αλλά με διαφορετικό πλάτος. Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Σ είναι

και κυμαίνεται μεταξύ του μηδενός και του 2Α ανάλογα με τις αποστάσεις r₁ και r₂. Συγκεκριμένα όταν

Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι, όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, τότε το σημείο Σ παραμένει ακίνητο.

Επίσης όταν

Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι, όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος, τότε το σημείο Σ θα ταλαντώνεται με το μέγιστό του πλάτος δηλ 2A.

Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο σημεία είναι σταθερός αριθμός ονομάζεται υπερβολή. Έτσι τα σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα σχηματίζουν μια παραμετρική ομάδα υπερβολών (με παράμετρο το μήκος κύματος λ). Το ίδιο συμβαίνει και με τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος τα οποία σχηματίζουν μια άλλη ομάδα υπερβολών.

Ας εξετάσουμε τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Κάθε υπερβολή συναντά το ευθύγραμμο τμήμα Ο₁Ο₂ σε ένα σημείο, έτσι ο αριθμός των υπερβολών που σχηματίζονται είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μεταξύ των σημείων Ο₁Ο₂.

Ας εκφράσουμε τις αποστάσεις αυτών των σημείων από τις πηγές Ο₁ και Ο₂ σε συνάρτηση με το μήκος κύματος και την απόσταση d/2 του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος Ο₁Ο₂

Για ένα οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Ο₁Ο₂ όπως προκύπτει και από το σχήμα ισχύει

Για τα σημεία που ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος ισχύει επίσης

με πρόσθεση των δύο παραπάνω εξισώσεων κατά μέλη προκύπτει

όπου x_κ η θέση ενός οποιαδήποτε σημείου μεταξύ του ευθύγραμμου τμήματος Ο₁Ο₂ (με σύστημα αναφοράς το μέσου του ευθύγραμμου τμήματος Ο₁Ο₂ με θετική φορά από την πηγή Ο₁ προς την πηγή Ο₂) που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 2Α (κοιλία) . Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι :

• Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος (κοιλίες) απέχουν μεταξύ τους (όπως και οι κοιλίες στα στάσιμα κύματα)
• Μπορούμε να "αριθμήσουμε" τις υπερβολές. Η υπερβολή που περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος (εκφυλίζεται σε ευθεία) είναι η υπερβολή με k = 0. Ο αμέσως επόμενος κλάδος της υπερβολής στην θετική πλευρά του άξονα (προς την πλευρά της πηγής Ο₂) έχει k = 1 ενώ ο πρώτος κλάδος της υπερβολής που βρίσκεται στην αρνητική πλευρά του άξονα (προς την πλευρά της Ο₁) έχει k = -1 κλπ.

• Για να βρούμε τώρα το πλήθος των κλάδων των υπερβολών που βρίσκονται μεταξύ του Ο₁Ο₂ (το οποίο είναι ίσο με το πλήθος των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μεταξύ των σημείων Ο₁ και Ο₂), δεν έχουμε παρά να βρούμε πόσα μισά μήκη κύματος χωράνε από το σημείο Ο και μέχρι το σημείο Ο₂, να διπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό (άλλες τόσες υπάρχουν και μεταξύ ΟΟ₁) και να προσθέσουμε και μια μονάδα (που αντιστοιχεί στην υπερβολή που περνά από το σημείο Ο). Αν δε θέλουμε να μετράμε μπορούμε να υπολογίζουμε

το σύμβολο [χ] στα μαθηματικά σημαίνει το ακέραιο μέρος ενός αριθμού x που είναι ο μικρότερος ακέραιος που δεν τον ξεπερνά π.χ. [6,3]=6 , [2,6]=2

Με παρόμοια ανάλυση μπορούμε να βρούμε για τους δεσμούς ότι

Για τα σημεία που παραμένουν ακίνητα ισχύει

Με πρόσθεση κατά μέλη

Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που παραμένουν ακίνητα (δεσμοί) απέχουν μεταξύ τους (όπως και οι δεσμοί στα στάσιμα κύματα). Ο πρώτος δεσμός που βρίσκεται στη θετική φορά (πλευρά της πηγής Ο₂) απέχει από το μέσο Ο της απόστασης Ο₁Ο₂ απόσταση επόμενος   ο επόμενος κ.ο.κ .

• Με παρόμοιο τρόπο αριθμούνται και οι υπερβολές, δηλαδή ο πρώτος κλάδος υπερβολής που περνά από τον πρώτο δεσμό στην πλευρά της πηγής Ο₂ έχει k = 0, ενώ αυτός ο κλάδος που περνά από τον πρώτο δεσμό στην πλευρά της πηγής Ο₁ έχει k = -1 κλπ.

• Επίσης η απόσταση ενός δεσμού και μιας κοιλίας είναι
• Όλα τα παραπάνω θυμίζουν στάσιμα κύματα το οποίο είναι φυσιολογικό, μια και στο ευθύγραμμο τμήμα Ο₁Ο₂ έχουμε δύο κύματα που διαδίδονται με αντίθετες ταχύτητες και φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Ο. Δηλαδή στον άξονα x'x η ταλάντωση που εκτελούν τα σημεία είναι ισοδύναμη με την ταλάντωση που θα εκτελούσαν, αν είχαμε να διαδίδονται δύο κύματα της μορφής

• Αν αντί για την διαφορά των αποστάσεων συγκρίναμε την διαφορά των φάσεων με την οποία φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Σ θα είχαμε

Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει ότι η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων είναι

Έτσι η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου γίνεται

Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή πρέπει . Επίσης η διαφορά φάσης γνωρίζουμε ότι δίνεται από την εξίσωση   (εξίσωση 5). Συνδυάζοντας αυτές τις δύο εξισώσεις προκύπτει

Δηλαδή αν τα κύματα φτάνουν σε συμφωνία φάσης το σημείο ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 2A. Ενώ για να παραμένει ακίνητο πρέπει

Δηλαδή αν τα κύματα φτάνουν με αντίθεση φάσης το σημείο παραμένει ακίνητο.

Αν  είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει το πρώτο κύμα στο σημείο Σ και  ο χρόνος του δευτέρου κύματος και  η χρονική διαφορά τους τότε για ενισχυτική συμβολή ισχύει

Για να ταλαντώνεται ένα σημείο με μέγιστο πλάτος θα πρέπει η χρονική διαφορά που φτάνουν τα κύματα σε αυτό να είναι  . Ενώ για να παραμένει ακίνητο πρέπει να φτάνουν με διαφορά χρόνου .

Ενίσχυση