• Στην παρακάτω προσομοίωση πιέστε το πλήκτρο play για να δείτε πως μεταβάλλεται το φορτίο και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα.
• Επιλέξτε «Σταμάτημα κάθε Τ/4» και μετακινείστε τον δρομέα ώστε να έχετε αργή προβολή. Παρατηρήστε πως μεταβάλλεται το φορτίο του οπλισμού Γ και πως η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος.
• Παρατηρήστε τις γραφικές παραστάσεις των μεγεθών q και i και εξάγεται τις αντίστοιχες εξισώσεις.
• Ποια είναι η αρχική φάση;
• Δημιουργείστε μια ταλάντωση κατά την οποία η αρχική φάση να είναι 0, π, 3π/2 rad.
• Κάντε αντιστοίχηση μεγεθών με την μηχανική ταλάντωση.
• Πως μεταβάλλεται η περίοδος αν αυξηθούν η χωρητικότητα και ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου;
• Συγκρίνετε την περίοδο μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου με την περίοδο της ταλάντωσης;

Πλήρη Οθόνη

Λίγα λόγια για την αυτεπαγωγή

Όταν ένα πηνίο διαρρέεται από μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό ρεύμα εμφανίζει ΗΕΔ από αυτεπαγωγή.

Αν θεωρήσουμε ως θετική φορά τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος

τότε η επαγωγική ΗΕΔ θα δίνεται από την εξίσωση

το νόημα του πρόσημου είναι ότι, όταν η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή είναι αρνητική, τότε η πολικότητά της είναι τέτοια ώστε να δίνει ρεύμα προς την αρνητική φορά, ενώ όταν είναι θετική δίνει ρεύμα προς την θετική.

Η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πηνίου κατά την φορά του ηλεκτρικού ρεύματος θα είναι πάντα (είτε το ρεύμα αυξάνεται είτε μειώνεται είτε παραμένει σταθερό) από την εξίσωση

Διερεύνηση :

α) αν το ρεύμα αυξάνεται δηλαδή όταν τότε

δηλαδή η πολικότητα της πηγής θα είναι αντίθετη με την φορά του ηλεκτρικού ρεύματος (προσπαθεί η πηγή να ελαττώσει το ρεύμα πράγμα σύμφωνο με τον κανόνα του Lentz)

και

δηλαδή το σημείο απ' όπου εισέρχεται το ηλεκτρικό ρεύμα έχει υψηλότερο δυναμικό από το σημείο που εξέρχεται

β) αν το ρεύμα ελαττώνεται τότε

δηλαδή η πολικότητα της επαγωγικής τάσης θα είναι ίδια με τη φορά του ηλεκτρικού ρεύματος (προσπαθεί να αυξήσει το ρεύμα πράγμα σύμφωνο με τον κανόνα του Lentz)

και

το δυναμικού του σημείου από όπου εισέρχεται το ηλεκτρικό ρεύμα είναι μικρότερο από όπου εξέρχεται.

γ) αν ρεύμα παραμένει σταθερό τότε

δηλαδή δεν εμφανίζεται ΗΕΔ από επαγωγή.

και

Σε αυτήν την περίπτωση τα σημεία Α και Β είναι βραχυκυκλωμένα.

Ενέργεια και αυτεπαγωγή

Η ισχύς σε μια αυτεπαγωγή δίνεται από την εξίσωση

Όταν p_L>0 τότε προσφέρεται ενέργεια στο πηνίο. όταν p_L<0 τότε το πηνίο προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα.

Όταν το πηνίο διαρέεται από ρεύμα i τότε έχει αποθηκευμένη ενέργεια

που αντιπροσωπεύει την ενέργεια που έχει προσφέρει στο πηνίο για να αποκτήσει το παραπάνω ρεύμα και έχει αποθηκευτεί στο εσωτερικό του με την μορφή ενέργειας μαγνητικού πεδίου.

Λίγα λόγια για έναν πυκνωτή

Αν και φορτίο ενός πυκνωτή ονομάζουμε το φορτίο του θετικού οπλισμού στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις θα αναφερόμαστε στο φορτίο q ενός συγκεκριμένου οπλισμού του πυκνωτή το οποίο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό ή μηδέν σε μια χρονική στιγμή.

Η ισχύς σε ένα πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση

όπου

Όταν η ισχύς είναι θετική τότε προσφέρεται ενέργεια στον πυκνωτή, ενώ αν η ισχύς είναι αρνητική τότε προσφέρει ο πυκνωτής ενέργεια στο κύκλωμα.

Όταν ένας πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο q τότε έχει αποθηκευμένη ενέργεια με την μορφή ηλεκτρικού πεδίου.

Η παραπάνω ενέργεια αντιπροσωπεύει την ενέργεια που προσφέρθηκε στον πυκνωτή για να φορτιστεί με φορτίο q.

Κύκλωμα LC

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει έναν πυκνωτή και ένα πηνίο το οποίο διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα i. Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί πως γράφουμε την εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο. (Αρχικά θα επιλέγουμε μια φορά ως θετική, στη συνέχεια θα σχεδιάζουμε το ηλεκτρικό ρεύμα να έχει την ίδια φορά με τη θετική και τέλος ως φορτίο q το φορτίο του οπλισμού που συναντά η θετική φορά. Στο παρακάτω σχήμα το φορίο q είναι το φορτίο του οπλισμού Γ)

Στο παρακάτω κύκλωμα το ρεύμα εισέρχεται από το άκρο Α του πηνίου οπότε η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β θα είναι

Η φορά του ρεύματος δείχνει τη φορά της κίνησης του θετικού φορτίου, οπότε μέσα σε χρόνο dt θα μετακινηθεί φορτίο dq προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού ρεύματος με αποτέλεσμα το φορτίο του οπλισμού του πυκνωτή που βρίσκεται ενωμένος με το σημείο Γ θα αυξηθεί κατά dq. Έτσι ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου του οπλισμού Γ θα είναι ίσος με το ηλεκτρικό ρεύμα

Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των διαφορών δυναμικού κατά μήκος κλειστού κυκλώματος είναι μηδέν (2ος κανόνας Kirchoff) οπότε

Με βάση τα προηγούμενα προκύπτει

όπου q το φορτίου του οπλισμού Γ και v_c=v_ΓΔ

Οι δύο παραπάνω εξισώσεις βρίσκονται σε ομοιομορφία με τις εξισώσεις που περιγράφουν την απλή αρμονική ταλάντωση. Εκεί γνωρίζουμε ότι

Η λύση των παραπάνω οδηγεί στις εξισώσεις

όπου

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις που υπάρχουν στα δύο πλαίσια (7) και (8) προκύπτει : το x είναι συνάρτηση του χρόνου όπως και το q είναι συνάρτηση του χρόνου, το D είναι σταθερά (ανεξάρτητη του χρόνου) όπωςκαι το 1/C είναι σταθερά, η ταχύτητα υ είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης όπως και η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος i είναι ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου q, η μάζα m είναι σταθερά (ανεξάρτητη του χρόνου) όπως και το L είναι σταθερά.

Έχουμε δηλαδή τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίσεων μεταξύ των μεγεθών σε μια απλή αρμονική ταλάντωση με τα μεγέθη σε μια ηλεκτρική ταλάντωση

από την εξίσωση προκύπτει που δικαιολογείται και από την αντιστοιχία ρυθμού μεταβολής του ρεύματος και της επιτάχυνσης.

Έτσι και οι εξισώσεις για το ηλεκτρικό κύκλωμα LC έχουν λύσεις

με

Αν την χρονική στιγμή t=0 ο οπλισμός Γ είναι φορτισμένος θετικά με φορτίο Q

τότε από την εξίσωση έχουμε απ' όπου . Έτσι

και

Από τις (10),(11) προκύπτει

Η ενέργεια στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις μπορεί να υπολογιστεί με ανάλογο τρόπο με αυτό των μηχανικών έτσι

Η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή ως ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου είναι,

ενώ η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο ως ενέργεια μαγνητικού πεδίου είναι