|
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση μιας αρθρωμένης ράβδου. Σχεδιάζονται και υπολογίζονται οι δυνάμεις στην άρθρωση. Η αρχική τιμή της γωνιακής ταχύτητας είναι τέτοια ώστε η ράβδος μόλις να κάνει ανακύκλωση. Μπορούμε να σύρουμε την ράβδο για να αλλάξουμε την αρχική της θέση.
Ποιες είναι οι δυνάμεις που εμφανίζονται στην άρθρωση μιας ράβδου που κάνει στροφική κίνηση κάτω από επίδραση της βαρύτητας;
Ας ξεκινήσουμε με τον νόμο του Νεύτωνα στην στροφική κίνηση
Το άκρο $Α$ είναι ακίνητο επομένως
$$\left(\frac{dL}{dt}\right)_Α=\left(\sum τ\right)_Α$$
$$I_Α\frac{dω}{dt}=τ_w$$
$$I_Α\frac{dω}{dt}=-mgx$$
$$\frac{1}{3}m\ell^2\frac{dω}{dt}=-\frac{mg\ell}{2}\mathsf{\,συν\,}θ$$
|
$$\frac{dω}{dt}=-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ$$ |
$$(1)$$ |
Το κέντρο μάζας του συστήματος εκτελεί κυκλική κίνηση οπότε η επιτάχυνση του θα έχει δύο συνιστώσες την κεντρομόλο επιτάχυνση με τιμή
$$a_\mathsf{κ}=\frac{υ^2}{r}=ω^2r=\frac{ω^2\ell}{2}$$
και την επιτρόχιο επιτάχυνση με τιμή
$$a_\mathsf{ε}=\frac{dυ}{dt}=r\frac{dω}{dt}=\frac{\ell}{2}\frac{dω}{dt}$$
$$a_\mathsf{ε}=\frac{\ell}{2}\left(-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ\right)$$
$$a_\mathsf{ε}=-\frac{3g}{4}\mathsf{\,συν\,}θ$$
Γνωρίζουμε ότι η κίνηση του κέντρο μάζας περιγράφεται από τις εξισώσεις του νόμου του Νεύτωνα με εφαρμογή σε άξονες με διευθύνσεις κάθετα στην ράβδο και παράλληλα στην ράβδο προκύπτει
$$\sum F_\mathsf{κ}=ma_\mathsf{κ}$$
$$F_r+mg\mathsf{\,ημ\,}θ=mω^2\frac{\ell}{2}$$
|
$$F_r=mω^2\frac{\ell}{2}-mg\mathsf{\,ημ\,}θ$$ |
$$(2)$$ |
και για την εφαπτομενική συνιστώσα
$$\sum F_\mathsf{ε}=ma_\mathsf{ε}$$
$$F_\mathsf{ε}-mg\mathsf{\,συν\,}θ=m\left(-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ\right)$$
$$F_\mathsf{ε}=mg\mathsf{\,συν\,}θ-\frac{3mg}{4}\mathsf{\,συν\,}θ$$
|
$$F_\mathsf{ε}=\frac{1}{4}mg\mathsf{\,συν\,}θ$$ |
$$(3)$$ |
Στο τελευταίο αποτέλεσμα μπορούσαμε να καταλήξουμε και λίγο διαφορετικά. Έχουμε την δυνατότητα να εφαρμόσουμε τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα για την στροφική κίνηση ως προς το κέντρο μάζας της ράβδου. Τότε
$$\left(\frac{dL}{dt}\right)_{\rm {cm}}=\left(\sum τ\right)_{\rm {cm}}$$
$$I_\mathrm {cm}\frac{dω}{dt}=-F_\mathsf {ε}\frac{\ell}{2}$$
Από την $(1)$ έχουμε
$$\frac{1}{12}m\ell^2\left(-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ\right)=-F_\mathsf {ε}\frac{\ell}{2}$$
$$F_\mathsf{ε}=\frac{1}{4}mg\mathsf{\,συν\,}θ$$
Άσκηση
Ποιά είναι η ελάχιστη γωνιακή ταχύτητα που πρέπει να έχει η ράβδος στο κατώτερό της σημείο ώστε να μπορέσει να κάνει ανακύκλωση. Λύση Όπως είδαμε και παραπάνω η συνιστάμενη ροπή είναι μεταβλητή επομένως η χρήση των εξισώσεων του Νεύτωνα για την υπολογισμό της γωνιακής ταχύτητας δεν θα οδηγήσει σε λύση. Γι αυτό χρησιμοποιούμε τη διατήρηση της Ενέργειας.
Λαμβάνοντας ως επίπεδο αναφοράς δυναμικής ενέργειας το επίπεδο που περνά από τον κέντρο μάζας της ράβδου όταν αυτή βρίσκεται στο κατώτερο σημείο και
επειδή θέλουμε την ελάχιστη γωνιακή ταχύτητα για να κάνει ανακύκλωση στο ανώτερο σημείο η ράβδος αρκεί να φτάσει να μηδενική ταχύτητα οπότε
$$K_1+U_2=K_2+U_2$$
$$\frac{1}{2}Iω^2-mg\frac{\ell}{2}=0+mg\frac{\ell}{2}$$
$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}m\ell^2ω^2=mg\ell$$
$$ω=\sqrt{\frac{6g}{\ell}}$$
με $g=10\ \mathrm{m/s^2},\ \ell=2\ \mathrm{m}$ έχουμε $ω=5.48\ \mathrm{rad/s}$
|
