|
|
Κίνηση ενός τροχού σε οριζόντιο επίπεδο - HTML5 |
|
Άσκηση
Η σφαίρα του σχήματος έχει ακτίνα $R=1\ \mathrm{m}$ και μάζα $m=1\ \mathrm{kg}$. Η σφαίρα εκτοξεύεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα $υ_0=7\ \mathrm{m/s}$ και χωρίς γωνιακή ταχύτητα. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι $μ=0,2$ να βρεθεί μετά από πόσο χρόνο ο τροχός θα αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Δίνεται η ροπή αδράνειας σφαίρας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο της $I=\frac25mR^2$, $g=10\ \mathrm{m/s^2}$
Λύση
Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε
$$\sum F = m{a_{\mathrm{cm}}}$$
$$-T=m{a_{\mathrm{cm}}}$$
$$-μmg=m{a_{\mathrm{cm}}}$$
$${a_{\mathrm{cm}}}=-μg$$
με αντικατάσταση προκύπτει
|
$${a_{\mathrm{cm}}}=-2\ \mathrm{m/s^2}$$ |
$$(1)$$ |
Για την στροφική κίνηση
$$\left(\sum τ\right)_\mathrm{cm} = I_\mathrm{cm}{\alpha_{\mathsf{γων}}}$$
$$TR=\frac25mR^2\alpha_\mathsf{γων}$$
$$\alpha_\mathsf{γων}=\frac{5μg}{2R}$$
με αντικατάσταση προκύπτει
|
$$\alpha_\mathsf{γων}=5\ \mathrm{rad/s^2}$$ |
$$(2)$$ |
Η ταχύτητα του κέντρου μάζας σε κάθε στιγμή θα είναι
$$υ=υ_0+{a_{\mathrm{cm}}}t$$
$$υ=7-2t\ \ \ \mathrm{(S.I.)}$$
Ενώ η γωνιακή ταχύτητα
$$ω=ω_0+\alpha_\mathsf{γων}t$$
$$ω=5t\ \ \ \mathrm{(S.I.)}$$
Η ταχύτητα του κατώτερου σημείου υπολογίζεται από το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του κέντρου μάζας και της ταχύτητας λόγω περιστροφής γύρω από το σημείο αυτό. Δηλαδή
$$υ_Γ=υ_\mathsf{cm}+\left(-ωR\right)$$
$$υ_Γ=7-2t-5t$$
$$υ_Γ=7-7t$$
Όταν η ταχύτητα του σημείου $Γ$ θα γίνει ίση με μηδέν τότε ο τροχός θα κυλίεται και η τριβή θα μηδενιστεί. Αυτό θα συμβεί στην περίπτωσή μας μετά από χρόνο $1\ \mathrm{s}$.
|
|
|
Τελευταία ανανέωση ( 12.12.21 )
|