Α. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων τις ίδιας συχνότητας

Έστω ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις της ίδιας συχνότητας που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις

Παρατήρηση : Αν και οι δύο εξισώσεις παρουσιάζουν αρχική φάση μπορούμε να τις ανάγουμε στην παραπάνω περίπτωση με αλλαγή μεταβλητής ως εξής

θέτοντας τότε οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται

η οποία είναι της ίδιας μορφής με τις αρχικές εξισώσεις

Η απομάκρυνση του σώματος σε κάθε χρονική στιγμή θα είναι

Η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιώντας τις γνώσεις από τα μαθηματικά ημ(α+β)=ημασυνβ+ημβσυνα

Η άλγεβρα Β λυκείου μας λέει ότι η συνάρτηση

μπορεί να γραφεί με την μορφή

όπου

και φ μια γωνία που ικανοποιεί τις εξισώσεις

οπότε στην δική μας περίπτωση η εξίσωση

μπορεί να γραφεί με την μορφή

όπου

(1)

και θ μια γωνία για την οποία

Παρατήρηση : Συνηθίζουμε να υπολογίζουμε την εφφ. Όμως όποτε απλοποιούμε υπερβολικά τα μαθηματικά συχνά το πληρώνουμε με ασάφειες δηλαδή υπολογίζοντας την

δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την γωνία θ γιατί και η γωνία π+θ έχει την ίδια εφαπτομένη (εφ(π+θ)=εφθ) ενώ αν γνωρίζουμε το ημφ και το συνφ μπορούμε να προσδιορίσουμε το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η γωνία

Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας οδηγεί επίσης σε απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας.