Νοέ
16
2019
Το Καρούλι (Ενεργειακά) - HTML5

Άσκηση

Το στερεό του σχήματος αποτελείται από δύο δίσκους ακτίνας $R$ και μάζας $M$ και από έναν κύλινδρο ακτίνας $r$ και μάζας $m$. Στο καρούλι ασκείται δύναμη $\vec F$ όπως φαίνεται στο σχήμα με αποτέλεσμα το καρούλι να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογιστεί
1. Η επιτάχυνση που αποκτά το καρούλι
2. Το έργο της δύναμης για μετατόπιση του καρολιού κατά $Δx_\mathrm{cm}$

Λύση

yoyo

1.

Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα έχουμε

$$\sum \vec F=m\vec a_\mathrm{cm}$$

 

$$F-T_\mathsf{σ}=m_\mathsf{ολ}a_\mathrm{cm}$$

$$(1)$$
Για την στροφική κίνηση ισχύει $$\left(\sum τ\right)_\mathrm{cm}=I_\mathrm{cm}\alpha_\mathsf{γων}$$ $$T_\mathsf{σ}R+Fr=I_\mathrm{cm}\alpha_\mathsf{γων}$$

 

$$T_\mathsf{σ}+F\frac{r}{R}=\frac{I_\mathrm{cm}}{R^2}a_\mathrm{cm}$$

$$(2)$$
Όπου $$I_\mathrm{cm}=MR^2+\frac12 mr^2$$ Με πρόσθεση κατά μέση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει $$F\left(1+\frac{r}{R}\right)=\left(m_\mathsf{ολ}+\frac{I_\mathrm{cm}}{R^2}\right)a_\mathrm{cm}$$

 

$$a_\mathrm{cm}=\frac{F\left(1+\frac{r}{R}\right)}{\left(m_\mathsf{ολ}+\frac{I_\mathrm{cm}}{R^2}\right)}$$

$$(3)$$

2.

Υπάρχουν δύο ισοδύναμες διαδικασίες για τον υπολογισμό του έργου της δύναμης. Η πρώτη στηρίζεται αποκλειστικά στον ορισμό του έργου δηλαδή

ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ = ΔΥΝΑΜΗ x ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

yoyo

Το σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι το σημείο $Α$. Η μετατόπιση του οποίου είναι ίση με το άθροισμα μιας μετατόπισης του κέντρου μάζας και μιας μετατόπισης λόγω περιστροφικής κίνησης δηλαδή

$$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}+\ell$$ $$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}+rΔθ$$ $$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}+r\frac{Δx_\mathrm{cm}}{R}$$ $$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}\left(1+\frac{r}{R}\right)$$ όμως $$W_F=FΔx_Α$$ ή

 

$$W_F=FΔx_\mathrm{cm}\left(1+\frac{r}{R}\right)$$

$$(4)$$

Αν και η κίνηση του στερεού είναι μια και ενιαία για υπολογισμούς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το έργο της δύναμης υπολογίζεται από άθροισμα δύο τμημάτων το ένα τμήμα αντιπροσωπεύει έργο που είχαμε αν η κίνηση ήταν μεταφορική με ταχύτητα ίση με το κέντρο μάζας και το άλλο το έργο που θα είχαμε αν το στερεό εκτελούσε μόνο περιστροφική κίνηση

$$W_F=W_{F\ (\mathsf{στην\ μεταφορική})}+W_{τ\ (\mathsf{στην\ περιστροφική})}$$ $$W_F=FΔx_\mathrm{cm}+τΔθ$$ $$W_F=FΔx_\mathrm{cm}+FrΔθ$$ $$W_F=FΔx_\mathrm{cm}+Fr\frac{Δx_\mathrm{cm}}{R}$$ $$W_F=FΔx_\mathrm{cm}\left(1+\frac{r}{R}\right)$$
Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."
Τελευταία ανανέωση ( 12.12.21 )