Απρ
21
2019
Θεμελιώδης Νόμος για την Περιστροφική κίνηση - HTML5
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής στην περιστροφική κίνηση. Μπορούμε να μεταβάλουμε τον άξονα περιστροφής, την ροπή αδράνειας, την μάζα , την αρχική γωνιακή ταχύτητα της ράβδου καθώς και τις διαστάσεις της.

Η έκφραση "θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης" παραπέμπει στο να θεωρήσουμε πως εκτός των τριών νόμων του Νεύτωνα υπάρχει και άλλος που αναφέρεται στην περιστροφική κίνηση. Πρόκειται για παραπλάνηση γιατί ο "θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης" δεν είναι αξίωμα που το δεχόμαστε αλλά αποδεικνύεται. Αν δηλαδή δεχθούμε πως οι ισχύοι οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα τότε υποχρεωτικά θα ισχύει και ο αναφερόμενος ως "θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης". Οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα είναι αρκετοί για να μελετήσουμε ολόκληρη την Μηχανική.

Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης περιγράφεται με την εξίσωση

$$\sum {\tau = I\alpha_\mathsf{γων} } $$

Η παραπάνω εξίσωση ισχύει κάτω από προϋποθέσεις. Αν ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις τότε ισχύει και η παραπάνω εξίσωση. Υπάρχουν όμως και άλλες περιτώσεις για τις οποίες εξακολουθεί να ισχύει.

1. Ο άξονας $q$ γύρω από τον οποίο περιστρέφεται το στερεό να είναι ακλόνητος, (δηλαδή το στερεό να εκτελεί καθαρά στροφική κίνηση) τότε αν $I_q$ είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής $q$ και $τ$ είναι η συνισταμένη εξωτερική ροπή ως προς τον άξονα ισχύει:

 

Στροφική Κίνηση$$\sum {\tau_q = I_q\alpha_\mathsf{γων} } $$

$$(1)$$

2. Αν δεν υπάρχει σταθερός άξονας τότε για να ισχύει η εξίσωση θα πρέπει να αναφερόμαστε σε άξονα που περνά από το κέντρο μάζας, να είναι άξονας συμμετρίας και να μην αλλάζει προσανατολισμό.

 

Σύνθετη Κίνηση$$\sum {\tau_\mathrm{cm} = I_\mathrm{cm} \alpha_\mathsf{γων} } $$

$$(2)$$

Παρατηρήσεις

1.Η ροπή αδράνειας εκφράζει ότι και η μάζα στην μεταφορική κίνηση, δηλαδή σώματα με μεγάλη ροπή αδράνειας προκαλούν μεγαλύτερη αντίσταση κατά την περιστροφή τους. Περιστρέφονται δηλαδή δυσκολότερα. Πρέπει να σημειωθεί ότι η μάζα ενός σώματος είναι σταθερή ενώ η ροπή αδράνειάς του εξαρτάται από τον άξονα ως προς τον οποίο υπολογίζεται.
2. Η εξίσωση $(2)$ ισχύει και στην περίπτωση που το σώμα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα $q$. Μόνο που σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί γιατί υπάρχουν άγνωστες δυνάμεις από τον άξονα $q$ που προκαλούν ροπές ως προς το $\rm {cm}$.

 

3. Η γενική εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο είναι

$$\sum {{{\vec \tau }_Κ} = {{\vec r}_{{\rm{cm}}}}} \times {m\vec a_Κ} + \frac{d}{{dt}}\left(\mathbf{J}\vec \omega \right)$$

Από την εξίσωση αυτή, αν το στερεό περιστρέφεται γύρω από έναν κύριο του άξονα (αν ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας τότε είναι και κύριος άξονας) προκύπτει

$$\sum {{{\vec \tau }_Κ} = {{\vec r}_{{\rm{cm}}}}} \times {m\vec a_Κ} + \frac{d\left(I\vec ω\right)}{{dt}}$$ $$\sum {{{\vec \tau }_Κ} = {{\vec r}_{{\rm{cm}}}}} \times {m\vec a_Κ} + I\vec \alpha_\mathsf{γων}$$

Ο πρώτος όρος της τελευταίας εξίσωσης μηδενίζεται α) όταν το σημείο $Κ$ είναι το κέντρο μάζας και η εξίσωση παίρνει την μορφή $(2)$. β) όταν η επιτάχυνση του σημείου $Κ$ είναι μηδέν (δηλαδή όταν πρόκειται για ακλόνητο άξονα) και γ) όταν η επιτάχυνση του σημείου $Κ$ περνάει από το κέντρο μάζας του σώματος. Μια τέτοια περίπτωση είναι η περίπτωση κύλισης ενός τροχού. Επειδή η επιτάχυνση του κατώτερου σημείου είναι ίση με την κεντρομόλο επιτάχυνση της κυκλικής κίνησης η οποία περνάει από το κέντρο μάζας του τροχού μπορούμε να εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο για την στροφική κίνηση για το σημείο επαφής με το έδαφος. Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στους υπολογισμούς της ροπής αδράνειας και της ολικής ροπής οι οποίοι πρέπει να γίνονται ως προς το κατώτερο σημείο.
Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."
Τελευταία ανανέωση ( 12.12.21 )