Δεκ
16
2018
Ελαστική Κρούση - HTML5
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις την ελαστική κρούση δυο σφαιρών. Μπορείς να μετακινήσεις τις σφαίρες και να περιστρέψεις τα διανύσματα των ταχυτήτων τους ώστε να καθορίσεις την διεύθυνση και το μέτρο της ταχύτητας κάθε σφαίρας.

Διατήρηση της ορμής κατά την κρούση

Έστω $\sum \vec F_\mathsf{εξ}$ είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν σε ένα σύστημα για χρονικό διάστημα $Δt$ τότε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει

$$\sum \vec F_\mathsf{εξ}=\frac{Δ\vec p_\mathsf{ολ}}{Δt}$$

 

$$Δ\vec p_\mathsf{ολ}=\sum \vec F_\mathsf{εξ}Δt$$

$$(1)$$

  • Αν $\sum \vec F_\mathsf{εξ}=\vec 0$ τότε ανεξάρτητα από το χρονικό διάστημα θα έχουμε $Δ\vec p_\mathsf{ολ}=\vec 0$ δηλαδή

 

$$\vec p_\mathsf{ολ}^\mathsf{\ αρχ}=\vec p_\mathsf{ολ}^\mathsf{\ τελ}$$

$$(2)$$

  • Αν $\sum \vec F_\mathsf{εξ}\not=\vec 0$ τότε το δεξιό μέλος της εξίσωσης $(1)$ μπορεί να γίνει ίσο με μηδέν και στην περίπτωση που $Δt=0$. Αν και δεν υπάρχουν φαινόμενα που διαρκούν μηδέν χρόνο υπάρχουν όμως φαινόμενα όπως οι κρούσεις και οι εκρήξεις τα οποία διαρκούν πάρα πολύ λίγο χρόνο ή όπως αλλιώς λέμε $Δt\to 0$. Σε αυτές τις περιπτώσεις ακόμη και αν $\sum \vec F_\mathsf{εξ}\not =\vec 0$ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $Δ\vec p_\mathsf{ολ}=\vec 0$ δηλαδή ότι η ορμή του συστήματος διατηρείται. ΌΜΩΣ για να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο θα πρέπει η $\sum \vec F_\mathsf{εξ}$ να μην τείνει στο άπειρο να έχει δηλαδή πεπερασμένο όριο γιατί διαφορετικά θα έχουμε απροσδιοριστία $\left(\infty\cdot 0 \right)$. Στην πράξη η συνισταμένη δύναμη απειρίζεται σε πάρα πολύ μικρό χρονικό διάστημα όταν έχουμε κρούση με ένα αντικείμενο το οποίο το θεωρούμε ότι παραμένει συνεχώς ακίνητο κατά την διάρκεια της κρούσης πχ τοίχος, έδαφος κλπ.
    Συμπέρασμα: Ακόμη και αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων δεν είναι μηδέν μπορούμε να θεωρήσουμε σε μια κρούση ή μια έκρηξη ότι η ορμή διατηρείται αρκεί να μην μετέχει αντικείμενο που να το θεωρήσουμε μονίμως ακίνητο όπως τοίχος ή έδαφος.

    Αν $Δt\to 0$ και $\sum \vec F_\mathsf{εξ}\not = \infty $ τότε

    $$\vec p_\mathsf{ολ}^\mathsf{\ πριν}=\vec p_\mathsf{ολ}^\mathsf{\ μετά}$$

    Παράδειγμα: Εκτοξεύουμε ένα σώμα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα $\vec υ_0$ κατά την άνοδο του σώματος δεν ισχύει η διατήρηση της ορμής γιατί ενεργεί το βάρος του σώματος $\vec w$ η οποία είναι εξωτερική δύναμη. Αν τώρα σε κάποιο σημείο της διαδρομής πχ στο ανώτερο σημείο γίνει μια έκρηξη ενώ εξακολουθεί να ενεργεί το βάρος (εξωτερική δύναμη) μπορούμε να εφαρμόσουμε την διατήρηση της ορμής για τις στιγμές ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά $\left(Δt\to 0\right)$ την κρούση διότι η συνισταμένη είναι σταθερή δύναμη οπότε υπάρχει το όριο της παράστασης $\sum \vec F_\mathsf{εξ}Δt$ όταν $Δt\to 0$ και είναι μηδέν $\left(\sum \vec F_\mathsf{εξ}Δt\to \vec 0\right)$.

Ορισμοί

Κεντρική (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες.

Πλάγια ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις.

 

Η ενέργεια στις κρούσεις

Επειδή η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα τα σώματα δεν προλαβαίνουν να αλλάξουν θέσεις έτσι κατά την διάρκεια του φαινομένου της κρούσης δεν συμβαίνουν αλλαγές στη δυναμική ενέργεια του συστήματος, δηλαδή η δυναμική ενέργεια του συστήματος πριν και μετά την κρούση είναι η ίδια. Αλλαγή μπορούμε να έχουμε μόνο στην κινητική ενέργεια.

Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η μηχανική ενέργεια του συστήματος. Επειδή όμως η δυναμική ενέργεια δεν μεταβάλλεται μπορούμε να πούμε πως ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια.

Ανελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής ενέργειας κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμική.

Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι η πλαστική κρούση κατά την οποία τα σώματα μετά την κρούση κινούνται σαν ένα σώμα. Έχουν δηλαδή κοινή ταχύτητα.

 

 

Κεντρική Ελαστική Κρούση

Ας υποθέσουμε ότι δύο σφαίρες με μάζες $m_1$ και $m_2$ κινούνται με ταχύτητες $υ_1$ και $υ_2$ και συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά τότε από την διατήρηση της ορμής

 

$$m_1υ_1+m_2υ_2=m_1υ'_1+m_2υ'_2$$

$$(2)$$

απ' όπου

 

$$m_1\left(υ_1-υ'_1\right)=m_2\left(υ'_2-υ_2\right)$$

$$(3)$$

Επειδή η κινητική ενέργεια διατηρείται κατά την ελαστική κρούση θα ισχύει $$K_1+K_2=K'_1+K'_2$$ $$\frac12 m_1υ_1^2+\frac12 m_2υ_2^2=\frac12 m_1υ{'_1}{^2}+\frac12 m_2υ{'_2}{^2}$$

 

$$m_1\left(υ_1-υ'_1\right)\left(υ_1+υ'_1\right)=m_2\left(υ'_2-υ'_2\right)\left(υ'_2+υ'_2\right)$$

$$(4)$$

Με διαίρεση των $(3)$ και $(4)$ προκύπτει

 

$$υ_1+υ'_1=υ_2+υ'_2$$

$$(5)$$

Από τις εξισώσεις $(2)$ και $(5)$ προκύπτει

 

$$υ'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}υ_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}υ_2$$

$$(6)$$

και

 

$$υ'_2=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}υ_2+\frac{2m_1}{m_1+m_2}υ_1$$

$$(7)$$

Α) Αν τα σώματα έχουν ίσες μάζες $m_1=m_2$ τότε από τις $(6)$ και $(7)$ προκύπτουν οι σχέσεις

$$ υ'_1=υ_2$$ $$υ'_2=υ_1$$ Δηλαδή τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες
Β) Αν το δεύτερο σώμα είναι ακίνητο δηλαδή $υ_2=0$ τότε από τις (6) και (7) έχουμε

 

$$υ'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}υ_1$$

$$(8)$$

και

 

$$υ'_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}υ_1$$

$$(9)$$


Β1) Αν το δεύτερο σώμα (το ακίνητο) έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το πρώτο $\left( {{m_2} \gg {m_1}} \right)$ τότε ισχύουν οι προσεγγίσεις $m_1-m_2 ≃ -m_2 $ και $m_1+m_2 ≃ m_2 $.
οπότε οι σχέσεις $(8)$ και $(9)$ γίνονται $$υ'_1 ≃ \frac{-m_2}{m_2}υ_1$$ $$υ'_1 ≃ -υ_1$$ και $$υ'_2 ≃ \frac{2m_1}{m_2}υ_1$$ $$υ'_2 ≃ 0$$
Β2) Αν το κινούμενο σώμα έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το ακίνητο $\left( {{m_1} \gg {m_2}} \right)$ τότε ισχύουν οι προσεγγίσεις $m_1-m_2 ≃ m_1 $ και $m_1+m_2 ≃ m_1 $.
οπότε οι σχέσεις $(8)$ και $(9)$ γίνονται $$υ'_1 ≃ \frac{m_1}{m_1}υ_1$$ $$υ'_1 ≃ υ_1$$ και $$υ'_2 ≃ \frac{2m_1}{m_1}υ_1$$ $$υ'_2 ≃ 2υ_1$$ Από τα παραπάνω προκύπτει πως η μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να αποκτήσει ένα ακίνητο σώμα όταν συγκρουστεί ελαστικά με ένα κινούμενο σώμα με ταχύτητα $υ_0$ είναι $2υ_0$.
Β3) Αν $m_2=3m_1$ τότε από τις σχέσεις $(8)$ και $(9)$ έχουμε $$υ'_1=\frac{m_1-3m_1}{m_1+3m_1}υ_1$$ $$υ'_1=-\frac{υ_1}{2}$$ και $$υ'_2=\frac{2m_1}{m_1+3m_1}υ_1$$ $$υ'_2=\frac{υ_1}{2}$$ Δηλαδή τα δύο σώματα μετά την κρούση κινούνται με αντίθετες ταχύτητες.

 

Πλάγια Κρούση

Στην Πλάγια κρούση η διατήρηση της ορμής γράφεται $$\vec p_1 + \vec p_2 = \vec p'_1 + \vec p'_2$$

Την παραπάνω σχέση είτε την αναλύουμε σε συνιστώσες είτε λύνουμε το πρόβλημα με βάση το σχήμα χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων ανάλογα με το πρόβλημα.

Ας θεωρήσουμε δύο σώματα με ίσες μάζες $m_1=m_2=m$ και το δεύτερο σώμα να είναι ακίνητο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Στην περίπτωση αυτή είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα για την επίλυση του προβλήματος. Από τον νόμο των συνημιτόνων προκύπτει

$$\vec p = \vec p'$$ $$\left| {\vec p} \right| = \left| {\vec p'} \right|$$ $$p_1=\sqrt{p{'_1}{^2}+p{'_2}{^2}+2p'_1p'_2\mathsf{\,συν\,}φ}$$ όπου $φ$ η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων $\vec p'_1$ και $\vec p'_2$

 

$$υ_1^2=υ'_1{^2}+υ'_2{^2}+2υ'_1υ'_2\mathsf{\,συν\,}φ$$

$$(10)$$

Επειδή η κινητική ενέργεια διατηρείται $$\frac12 mυ_1^2=\frac12 mυ{'_1}{^2}+\frac12 mυ{'_2}{^2}$$ $$υ_1^2=υ{'_1}{^2}+υ{'_2}{^2}$$ οπότε η $(10)$ γίνεται $$2υ'_1υ'_2\mathsf{\,συν\,}φ=0$$ Επειδή η κρούση δεν είναι κεντρική ισχύει $υ'_1υ'_2\not = 0$ οπότε πρέπει $$\mathsf{\,συν\,}φ=0$$ άρα $$φ=\frac{π}{2}$$
Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 17.11.19 )