Φυσική και Φωτογραφία - Ρευστό σε Ισορροπία (Βασική εξίσωση υδροστατικής)

Προσομοίωση μελέτης της πίεσης των ρευστών. Σύρε την μανομετρική κάψα σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βάθος για να δεις πως μεταβάλλεται η πίεση. Στην κάψα σχεδιάζονται οι δυνάμεις που δέχονται οι μεγαλύτερες πλευρές. Οι διαστάσεις της κάψας θεωρούνται πολύ μικρές σε σύγκριση με το βάθος στο οποίο βρίσκεται. Κάνοντας κλικ στα διανύσματα μπορείς να περιστρέψεις την κάψα. Μπορείς να σύρεις τις κορυφές του δοχείου ώστε να αλλάξεις το σχήμα του. Αν πιέζεις το πλήκτρο SHIFT καθώς σύρεις τις πάνω κορυφές του δοχείου, η επιφάνεια του υγρού παραμένει σε σταθερό ύψος.

Η Έννοια Πίεση

Οποιαδήποτε επιφάνεια βρεθεί σε επαφή με ένα ρευστό δέχεται δύναμη. Αυτό είναι γεγονός. Αντί να αναζητούμε τα μικροσκοπικά αίτια (κίνηση μορίων, συγκρούσεις κλπ) που προκαλούν αυτήν την δύναμη λέμε πως αυτή οφείλεται σε μια ιδιότητα που έχουν τα ρευστά, την πίεση. Η πίεση επομένως είναι η αιτία που τα ρευστά ασκούν δύναμη σε μια οποιαδήποτε επιφάνεια βρεθεί μέσα σε αυτά. Η δύναμη αυτή πάντα "σπρώχνει" και είναι κάθετη στην επιφάνεια (σχ. 1). Η πίεση σε ένα σημείο ενός ρευστού ορίζεται μέσω της παρακάτω εξίσωσης

Τα ρευστά ΈΧΟΥΝ πίεση, ΔΕΝ ασκούν πίεση. Στην καθημερινότητα μας χρησιμοποιούμε λέξεις που πολλές φορές δεν έχουν το ίδιο νόημα όταν τις βλέπουμε από την σκοπιά της Φυσικής. Όπως Βάρος, Έργο κλπ. Η έννοια πίεση ίσως είναι η μοναδική περίπτωση όπου στην καθημερινή μας ζωή την χρησιμοποιούμε, μερικές φορές, πιο σωστά από ότι στην Φυσική. Λέμε "έχω πίεση" και όχι "ασκώ πίεση" όταν πρόκειται να περιγράψουμε την παθολογική κατάσταση στην η οποία η πίεση του αίματος είναι μεγαλύτερη της κανονικής. Εξαιτίας της πίεσης το αίμα "ασκεί δύναμη" σε οποιαδήποτε επιφάνεια βρίσκεται σε επαφή με αυτό όπως είναι οι φλέβες μας.

Βασική εξίσωση της υδροστατικής

Για να υπολογίσουμε την πίεση που επικρατεί σε ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ρευστού που βρίσκεται σε ισορροπία εργαζόμαστε ως εξής. Απομονώνουμε νοητά ένα κύλινδρο ύψους $h$ από το ίδιο το ρευστό το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία (φανταστείτε μια σακούλα fino bag που βρίσκεται μέσα σε νερό και περικλείει τον κύλινδρο γαι τον οποίο συζητάμε). Στην στήλη αυτήν ενεργούν μια δύναμη $F_1$ από το υπόλοιπο ρευστό στην πάνω επιφάνειά του, το βάρος $w$ της στήλης και μια δύναμη $F_2$ πάλι από το ρευστό αλλά τώρα στην κάτω επιφάνειά της στήλης. Υπάρχουν βέβαια δυνάμεις και στα πλευρικά τοιχώματα οι οποίες έχουν συνισταμένη μηδέν και θα ασχοληθούμε με αυτές λίγο παρακάτω. Η στήλη αυτή του υγρού ισορροπεί άρα σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ισχύει

Επίσης μια οριζόντια στήλη από ρευστό ισορροπεί δεχόμενη από αριστερά και δεξιά δυνάμεις που $F=p_aA$ (σχ. 4α). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μπορούμε να έχουμε μια οριζόντια μετατόπιση της στήλης κάτι σε τουβλάκι τέτρις και να εξακολουθεί να ισχύει η εξίσωση $(2)$ γιατί $p_a=p_1+ρgh_1$ και $p_2=p_a+ρgh_2=p_1+ρgh_1+ρgh_2=ρgh$. Επεκτείνοντας τον παραπάνω συλλογισμό μπορούμε να καταλήξουμε πως η εξίσωση $p_2=p_1+ρgh$ ισχύει για δύο οποιαδήποτε σημεία ενός ρευστού που ισορροπεί και δεν χρειάζεται αναγκαστικά το ένα να είναι κάτω από άλλο αρκεί να είναι σημεία του ίδιου ρευστού. Η διαφορά πίεσης μεταξύ δυο σημείων ενός υγρού που ισορροπεί είναι ίση με τον παράγοντα $ρgh$.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η δύναμη που δέχεται μια επιφάνεια εξαιτίας της πίεσης του ρευστού δεν είναι επειδή έχει "από πάνω της" μια στήλη ρευστού και φορτώθηκε το βάρους της σαν να ήταν μια τσιμεντοκολώνα (Έκφραση δανεισμένη από τον μεγάλο δάσκαλο Ανδρέα Κασσέτα). Την δύναμη θα την δεχθεί ακόμη και αν από πάνω της έχει ελάχιστο ρευστό. Για παράδειγμα τα δύο κυβάκια του σχήματος δέχονται την ίδια δύναμη από το ρευστό, ίση με $F=pA$. Το ένα κυβάκι έχει μια στήλη ρευστού από πάνω του ενω το άλλο σχεδόν τίποτε δέχεται όμως ακριβώς την ίδια δύναμη. Το υγρό εξαιτίας της πίεσης σπρώχνει όχι μόνο προς τα κάτω αλλά και προς τα πάνω, αριστερά, δεξιά και γενικά προς όλες τις κατευθύνσεις.

Από την εξίσωση $(2)$ προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

1. Αν $h=0$ τότε $p_1=p_2$. Δηλαδή αν δύο σημεία βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο τότε έχουν την ίδια πίεση.

2. Αν δύο σημεία έχουν την ίδια πίεση $p_1=p_2$ τότε $ρgh=0$ που σημαίνει ή $g=0$ ή $h=0$. Δηλαδή αν δύο σημεία έχουν την ίδια πίεση τότε θα βρίσκονται είτε εκτός πεδίου βαρύτητας είτε στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.

3. Επειδή $p_2-p_1=ρgh=\mathsf{σταθερό}$ συμπεραίνουμε πως αν για κάποιο λόγο μεταβληθεί η πίεση σε κάποιο σημείο θα πρέπει να μεταβληθεί και η πίεση οποιοδήποτε άλλου σημείου κατά το ίδιο ποσό. Το παραπάνω συμπέρασμα αποτελεί την αρχή μεταδόσεων των πιέσεων στα ρευστά (αρχή του Pascal).

4. Πολλές φορές προκειμένου να βρούμε την πίεση στο σημείο $2$ εντοπίζουμε ένα άλλο σημείο $3$ που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και αυτό το σημείο έχει από πάνω του μια στήλη ύψους $h$ και με αυτόν τον τρόπο αισθανόμαστε μεγαλύτερη ασφάλεια όταν γράφουμε την εξίσωση $p_2=p_1+ρgh$ (σχ. 5α). Η διαδικασία αυτήν δεν είναι λανθασμένη και αν σας βοηθάει κρατήστε την, όμως να έχετε στο βάθος του μυαλού σας πως μπορεί να υπάρξουν περιπτώσεις στις οποίες δεν μπορείται να βρείτε ένα τέτοιο ενδιάμεσο σημείο πχ στο (σχ. 5β). Σε τέτοιες περιπτώσεις απλά εφαρμόζουμε την εξίσωση μεταξύ των σημείων $1$ και $2$.

H Ατσμοφαιρική Πίεση

Ο ατμοσφαιρικός αέρας (όπως και κάθε αέριο) έχει και αυτός πίεση. Υπάρχει μια μικρή διαφορά με τα υγρά, επειδή στα υγρά οι δυνάμεις μεταξύ των μορίων είναι ισχυρότερες και τα μόρια είναι πολύ κοντά το ένα με άλλο (σχεδόν το ένα γλυστράει πάνω στο άλλο) μπορούμε να πούμε πως οι δυνάμεις από τα υγρά προέρχονται από "επαφή" ενώ στα αέρια λόγω των συγκρούσεων των μορίων με την επιφάνεια. Ισχύει όμως και για τα αέρια η ίδια εξίσωση $p_2=p_1+ρgh$ όπως οι πυκνότητες των αεριών είναι 1000 φορές μικρότερες από αυτές των υγρών με αποτέλεσμα για μικρά ύψη η διαφορά στην πίεση να είναι αμελητέα. Οπότε για ένα αέριο μέσα σε ένα δοχείο θα θεωρούμε την πίεση του παντού την ίδια ακόμη και αν υπάρχει υψομετρική διαφορά. Για μεγάλες διαφορές υψών π.χ. στην επιφάνεια της θάλασσας και σε ένα βουνό η πίεση δεν είναι η ίδια και εξαρτάται από την θερμοκρασία και την πυκνότητα του αέρα.

Η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού

Αυτό σημαίνει ότι η συνισταμένη δύναμη που δέχεται είναι μηδέν. Οι δυνάμεις που δέχεται είναι μια από την ατμοσφαιρικό αέρα και μια από το ρευστό. $$F_\mathsf{ατμ}=F_\mathsf{ρευστού}$$ $$p_\mathrm{atm}A=pA$$ $$p=p_\mathrm{atm}$$ Άρα η πίεση του ρευστού στην επιφάνεια του είναι ίση με αυτήν του ατμοσφαιρικού αέρα.

Η πίεση κάποιου σημείου στο εσωτερικό ενός ρευστού

Α. Αν η επιφάνεια του ρευστού βρίσκεται σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα

Ας θεωρήσουμε τώρα ένα σημείο στην επιφάνεια ενός υγρού (σημείο $1$) και ένα σημείο σε βάθος $h$ από την ελεύθερη επιφάνεια (σημείο $2$).

Β. Αν η ελεύθερη επιφάνεια ενός ρευστού κλείνεται με ένα έμβολο.

Παρατήρηση Πολλές φορές βλέποντας την τελευταία εξίσωση χρησιμοποιούμε (κακώς) την έκφραση πως η πίεση οφείλεται σε τρείς παράγοντες α) Στην ατμοσφαιρική πίεση $p_\rm{atm}$ β) σε εξωτερικά αίτια $p_\mathsf{εξ}=\frac{F}{A}$ και γ) στην υδροστατική πίεση $p_\mathsf{υδροσ.}=ρgh$. Ειδικά οι δύο τελευταίοι παράγοντες δημιουργούν εννοιολογικά προβλήματα και θα εξηγήσουμε τον λόγο με κάποια παραδείγματα.
1. Το πρόβλημα του εξωτερικού αιτίου
Ας θεωρήσουμε το παρακάτω πρόβλημα όπου υπάρχουν δύο έμβολα διαφορετικού εμβαδού στα οποία ενεργούν δυνάμεις $F_1$ και $F_2$. Το ζητούμενο είναι η πίεση (απλά η πίεση, δεν χρειάζεται η έννοια ολική πίεση, η οποία είναι άλλη μια παρενέργεια της άποψης ότι η πίεση αποτελείται από κομμάτια) στο σημείο $(3)$.

Κάποιοι μαθητές βλέπουν δύο εξωτερικά αίτια, την ατμοσφαιρική και την υδροστατική πίεση οπότε συμπεραίνουν

Η απάντηση φυσικά είναι λανθασμένη. Η αιτία που οι μαθητές οδηγούνται σε λανθασμένο αποτέλεσμα είναι γιατί εμείς τους παραπλανήσαμε, ο τρόπος που τους δείξαμε να σκέφτονται είναι λανθασμένος. Η σωστή διαδικασία είναι να επιλέξουμε δύο οποιαδήποτε σημεία πχ $1$ και $3$ και να εφαρμόσουμε την εξίσωση $p_3=p_1+ρgh_1$ ούτε υδροστατικές πιέσεις ούτε εξωτερικά αίτια ούτε τίποτε άλλο. Δεν μας ενδιαφέρει πόσα έμβολα υπάρχουν που βρίσκονται αυτά κλπ αρκεί να επικεντρωθούμε σε δύο σημεία να ισορροπεί το ρευστό για να μπορούμε να εφαρμόσουμε την βασική εξίσωση της υδροστατικής. Από την ισορροπία του εμβόλου $1$ έχουμε

Θα μπορούσαμε να διαλέξουμε τα σημεία $2$ και $3$ τότε με όμοιο τρόπο θα καταλήγαμε στην εξίσωση

2. Το πρόβλημα της έννοιας "υδροστατική πίεση"

Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο:
Η σχέση που δίνει την υδροστατική πίεση σε κάποιο σημείο $Α$ του χώρου που καταλαμβάνει ένα υγρό σε ισορροπία είναι $$p_\mathsf{υδροστατική}=ρgh$$ όπου $h$ το βάθος του σημείου $Α$ (η απόσταση από την ανώτερη επιφάνεια του υγρού)

Ποιά είναι η υδροστατική πίεση στο σημείο $Α$;

Για το τρίτο σχήμα: Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, και με την αυστηρή έννοια των λέξεων, η υδροστατική πίεση είναι η $ρgh_1$ γιατί αυτή η επιφάνεια είναι η ανώτερη! Μια τέτοια απάντηση με καλύπτει ως καθηγητή γιατί έχω το άλλοθι του σχολικού βιβλίου δε με καλύπτει όμως ως Φυσικό. Η αριστερή στήλη δεν πλεονεκτεί σε τίποτε σε σχέση με την δεξιά. Η πίεση στο σημείο $Α$ υπολoγίζεται είτε από την εξίσωση $p_Α=p_\mathrm{atm}+\frac{F_1}{A_1}+ρgh_1$ είτε από την εξίσωση $p_Α=p_\mathrm{atm}+\frac{F_2}{A_2}+ρgh_2$. Αν πούμε τον παράγοντα $ρgh_1$ υδροστατική πίεση τότε τον παράγοντα $ρgh_2$ πως θα τον πούμε; Το πρόβλημα ξεκινάει από την αντιστοίχιση της υδροστατικής πίεσης σε σημείο. Η υδροστατική πίεση δεν χαρακτηρίζει το σημείο αλλά την στήλη. Δηλαδή αν η έκφραση "Η υδροστατική πίεση στο σημείο ...." αντικατασταθεί από την έκφραση "Η υδροστατική πίεση της στήλης ..." δημιουργεί λιγότερα προβλήματα. Σε μια τέτοια περίπτωση η υδροστατική πίεση της αριστερής στήλης είναι $ρgh_1$ ενώ της δεξιάς $ρgh_2$. Μια στήλη ρευστού ύψους $h$ ΔΕΝ προκαλεί πίεση $ρgh$ αλλά ΑΥΞΑΝΕΙ την πίεση κατά τον παράγοντα $ρgh$.

Η εφαρμογή

Η διάταξη του σχήματος χρησιμοποιείται για την μέτρηση της πίεσης στο σημείο που βρίσκεται η μανομετρική κάψα. Μεταξύ των σημείων $1$ και $2$ ισχύει

Μέσα στην μανομετρική κάψα και σε ολόκληρο των σωλήνα βρίσκεται αέριο. Όταν τοποθετηθεί η μανομετρική κάψα σε βάθος $h$ μέσα στο νερό (σημειώνεται με χρώμα μπλε) τότε σε όλο τον σωλήνα το αέριο έχει την ίδια πίεση και ίση με την πίεση που επικρατεί στο σημείο $2$ και $3$.

Από την παρακάτω εξίσωση προκύπτει πως το ύψος $h_1$ που φτάνει υγρό το δεξιό σκέλος του σωλήνα με σχήμα U δεν εξαρτάται από την επιτάχυνση της βαρύτητας! Όπως αν είμαστε εκτός πεδίου βαρύτητας αν μετακινούμε την μανομετρική κάψα μέσα στο νερό δεν θα επιφέρει καμία μεταβολή στο ύψος $h_1$ του υγρού στον σωλήνα U αν δεν υπάρχει πεδίο βαρύτητας. Στην πραγματικότητα με την διάταξη του (σχ. 13) δεν μετράμε καμία πίεση αυτό που επαληθεύουμε είναι πως το βάθος $h$ και η υψομετρική διαφορά $h_1$ είναι ποσά ανάλογα.