Στερεό Π μάζας  Μ = 10 kg  αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες  R  και 2R, όπου  R = 0,2 m, όπως στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι  I = MR². Το στερεό Π περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα Ο'Ο, που συμπίπτει με τον άξονά του. Το σώμα Σ μάζας  m = 20 kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ακτίνας R.
Γύρω από το τμήμα του στερεού Π με ακτίνα 2R είναι τυλιγμένο πολλές φορές νήμα, στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου μπορεί να ασκείται οριζόντια δύναμη F.

α. Να βρείτε το μέτρο της αρχικής δύναμης F₀ που ασκείται στο ελεύθερο άκρο Α του νήματος, ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμένει ακίνητο.
Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη ακαριαία, έτσι ώστε να γίνει   F = 115Ν.
β. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος Σ.
Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά  h = 2m, να βρείτε:
γ. Το μέτρο της στροφορμής του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του.
δ. Τη μετατόπιση του σημείου Α από την αρχική του θέση.
ε. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του στερεού Π κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ κατά h.
Δίνεται:  g = 10.
Το συνολικό μήκος κάθε νήματος παραμένει σταθερό.

.

Πλήρη Οθόνη

ΛΥΣΗ

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν στο στερεό Π και στο σώμα Σ

Επειδή το σώμα ισορροπεί θα πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν σε αυτό να είναι μηδέν.

Το στερεό Π επίσης ισορροπεί άρα θα πρέπει η συνιστάμενη ροπή να είναι ίση με μηδέν

Από την (1)

β) Από τον δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα για την στροφική κίνηση του στερεού Π έχουμε :

Επειδή το σχοινί κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει

Από τον δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του σώματος Σ :

Με πρόσθεση των εξισώσεων (2) και (3) προκύπτει :

γ) Το σώμα Σ εκετελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση α_cm

Την χρονική στιγμή t = 2 s η ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώμα Σ είναι

Το σχοινί δεν γλυστράει στην τροχαλία αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ είναι ίσο με το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου του στερεού Π που απέχει απόσταση R από τον άξονα περιστροφής. Αν δεν συνέβαινε αυτό θα πρεπε το μήκος του σχοινιού να αυξάνεται ή να ελαττώνεται το οποίο είναι αδύνατο.

η στροφορμή υπολογίζεται από την εξίσωση

δ) Όλα τα σημεία του στερεού Π έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Α είναι ίσο με το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου του στερεού σε απόσταση 2R από τον άξονα.

Επειδή σε κάθε χρονική στιγμή η ταχύτητα του σημείου Α είναι διπλάσια της ταχύτητας του σώματος Σ έχει σαν αποτέλεσμα η μετατόπιση του σημείου Α να είναι διπλάσια της μετατόπισης του σώματος Σ

ε)