Μια μικρή σφαίρα ακτίνας r = 0,5 m βρίσκεται στο εσωτερικό δεύτερης κοίλης σφαίρας ακτίνας R = 3 m όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να βρεθεί η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει η μικρή σφαίρα στο κατώτερο σημείο ώστε να κάνει ανακύκλωση. Δίνεται πως έχουμε μόνο κύλιση χωρίς ολίσθηση και g = 10 m/s².

Πλήρη Οθόνη

Έστω Ω η γωνιακή ταχύτητα κατά την κυκλική κίνηση του κέντρου μάζας της σφαίρας και ω η γωνιακή ταχύτητα λόγω περιστροφικής κίνησης

επειδή η σφαίρα κυλίεται ισχύει

επίσης το κέντρο μάζας της σφαίρα εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας (R-r) με γωνιακή ταχύτητα Ω έτσι

από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει

Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση της σφαίρας είναι :

Με απαλοιφή της στατικής τριβής από τις (2) και (3) προκύπτει

Από τις σχέσεις (3) και (4) προκείπτει

Από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα στην ακτινική κατεύθυνση

για να ισχύει η παραπάνω σχέση για κάθε γωνία θ αρκεί να ισχύει για ημθ=1 δηλαδή για θ=90^o που αντιστοιχεί στην ανώτερη θέση της κίνησης.

Ας υπολογίσουμε την ταχύτητα που πρέπει να έχει η σφαίρα στο κατώτερο σημείο για να κάνει ανακύκλωση.

Η κινητική ενέργεια σφαίρας όταν κυλίεται είναι

από την διατήρηση της ενέργειας

από την αναγκαία συνθήκη για να κάνει ανακύκλωση (εξίσωση 6)