Μάι
06
2010
|
| |||
|
Με την προσομοίωση αυτή μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός τροχού σε κεκλιμένο (ή και σε οριζόντιο αν επιλέξουμε θ=0) με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης, του Βάρους του τροχού και της Τριβής. Ανάλογα με τις συνθήκες η κίνηση του τροχού μπορεί να είναι κύλιση η ολίσθηση. Μπορούμε να σύρουμε τον τροχό σε διάφορες θέσεις πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Την γωνία του κεκλιμένου επιπέδου μπορούμε να την αλλάξουμε είτε από το μενού είτε αν σύρουμε την πάνω πλευρά του. Την θέση του συστήματος μπορούμε να την αλλάξουμε σύροντας το δάπεδο. Αν επιλέξουμε ρυθμίσεις έχουμε την δυνατότητα να μεταβάλλουμε την μάζα του σώματος και τις συνιστώσες της δύναμης Fx και Fy. Μπορούμε να σύρουμε τα παραπάνω διανύσματα για να αλλάξουμε το σημείο εφαρμογής της δύναμης.
Το πρόβλημα μας είναι να μελετήσουμε την κίνηση ενός τροχού πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο έτσι οι δυνάμεις που ενεργούν είναι το βάρος η τριβή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου. Το πρώτο ερώτημα είναι: Ποια είναι η κατεύθυνση της τριβής;
Το συνηθισμένο λάθος είναι πως βλέπουμε τον τροχό να κινείται με ταχύτητα $\vec v_\mathrm{cm}$ και θεωρούμε πως η τριβή είναι αντίθετη της ταχύτητας αυτής. Η τριβή δεν έχει σχέση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας αλλά με την ταχύτητα του σημείου που βρίσκεται σε επαφή με το έδαφος. Το έδαφος δεν γνωρίζει προς τα που κινείται ο τροχός αλλά αντιλαβάνεται μόνο το σημείο που βρίσκεται σε επαφή. Για τον σκοπό το πρώτο που εξετάζουμε είναι Για να βρούμε την φορά της στατικής τριβής ενός τροχού που κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) ακολουθούμε τα εξής βήματα
H παραπάνω μέθοδος είναι γενική ας την εφαρμόσουμε στην περίπτωση κύλισης του τροχού σε κεκλιμένο επιπέδο. 1ος Τρόπος: Αν δεν υπήρχε η τριβή τότε η συνισταμένη δύναμη θα ήταν η $\vec w_x$ άρα η επιτάχυνση του κέντρου βάρους θα ήταν προς τα κάτω. Γωνική επιτάχυνση δεν έχουμε γιατί η ροπή του βάρους και της κάθετης αντίδρασης είναι μηδέν. Οπότε το κατώτερο σημείο θα αποκτούσε επιτάχυνση προς τα κάτω έτσι η στατική τριβή θα ήταν προς τα πάνω δηλαδή αντίθετη της $\vec w_x$. Να σημειωθεί πως στην παραπαπάνω ανάλυση δεν μας απασχολεί αν τροχός κινείται προς τα πάνω ή προς τα κάτω ή είναι αρχικά ακίνητος, σε κάθε περίπτωση η στατική τριβή είναι προς τα πάνω. 2ος Τρόπος:
Σε κάθε περίπτωση είτε ανεβαίνει είτε κατεβαίνει είτε είναι αρχικά ακίνητος η κατεύθυνση της στατικής τριβής είναι αντίθετη της $\vec w_x$. (Αρκεί να μην υπάρχει άλλη δύναμη εκτός των $\vec w, \vec N, \vec T_\mathsf{σ}$). Έστω ότι κάποια στιγμή ο κύλινδρος ανέρχεται με κύλιση σε κεκλιμένο επίπεδο με ταχύτητα $\vec v_0$ και γωνιακή ταχύτητα $\vec ω_0$. Όπως αναφέρθηκε πριν η στατική τριβή θα είναι είναι προς τα πάνω. Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα ισχύει $$\sum {\vec F = m{{\vec a}_\mathrm{cm}}} $$Επιλέγοντας την θετική φορά προς τα πάνω τότε $$ - {w_x} + {T_\mathsf{σ}} = M{a_{cm}}$$
Για την περιστροφική κίνηση ισχύει $$\sum {τ_\mathrm{cm}} = I_\mathrm{cm}\alpha_\mathsf{γων} $$Επιλέγοντας ως θετική φορά την δεξιόστροφη φορά περιστροφής έχουμε $$-T_\mathsf{σ}R=\frac{1}{2}MR^2\alpha_\mathsf{γων}$$Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται ισχύει $a_\mathrm{cm}=\alpha_\mathsf{γων}R$ οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται
Προσθέτωντας τις εξισώσεις $(1)$ και $(2)$ προκύπτει $$- Mg\,\mathsf{ημ\,}θ=\frac{3}{2}Ma_\mathrm{cm}$$
Η ταχύτητα και η μετατόπιση θα δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις εξισώσεις $$v=v_0+a_\mathrm{cm}t$$ $$v=v_0-\frac{2}{3}g\,\mathsf{ημ\,}θ\,t$$ και $$x=x_0+v_0t+\frac12a_\mathrm{cm}t^2$$ $$x=x_0+v_0t-\frac13g\,\mathsf{ημ\,}θ\,t^2$$ |
| Σχόλια |
|