Powered by 3DEN

Το γκρι σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της μορφής

Το πρόβλημα που τίθεται είναι να υπολογίσουμε σε κάθε χρονική στιγμή t την θέση του σφαιριδίου του εκκρεμούς.

Η θέση του εκκρεμούς την στιγμή t προσδιορίζεται από το διάνυσμα θέσης του που έχει συντεταγμένες (χ,y) ως προς το σύστημα αναφοράς Οxy

Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε

Από τις δύο τελευταιές εξισώσεις με απαλοιφή της τάσης Τ καταλήγουμε, μετά από αρκετές αλγεβρικές πράξεις, στην παρακάτω εξίσωση

Από τα δεδομένα του προβλήματος

έτσι

αν θέσουμε

τότε έχουμε

Αν λύσουμε το σύστημα των δύο παραπάνω διαφορικών εξισώσεων προδιορίζουμε την θέση του σώματος που είναι δεμένο στο εκκρεμές. Ο μόνος τρόπος που μπορούν να λυθούν οι παραπάνω διαφορικές εξίσωσεις είναι με την χρήση αριθμητικών μεθόδων. Μια απλή μέθοδος και πολύ ακριβής είναι η μέθοδος Runge - Kutta 4ης τάξης.

Σύμφωνα με αυτήν την μέθοδο αν η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης y είναι της μορφής

και την χρονική στιγμή t₀ γνωρίζουμε την τιμή της y₀

Μπορούμε υπολογίζοντας τους παρακάτω συντελεστές

να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης y₁ την χρονική στιγμή t₁=t₀+h από την εξίσωση.

Η παραπάνω μέθοδος επεκτείνεται όταν έχουμε δύο συναρτήσεις π.χ. θέσης x και ταχύτητας υ

και σαν αρχικές συνθήκες έχουμε x₀ και υ₀ την t₀ τότε

Υπολογίζουμε τους συντελεστές

και η θέση x₁ και η ταχύτητα υ₁ την χρονική στιγμή t₁=t₀+h θα είναι

Τελικά αν γνωρίζουμε την ταχύτητα ως συνάρτηση της θέσης και του χρόνου και την επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου, της θέσης και της ταχύτητας τότε αξάνοντας τον χρόνο κατά h μπορούμε να υπολογίζουμε την θέση και την ταχύτητα βήμα βήμα.