Ιαν
01
2009
|
| |||
|
Τι εννοούμε με την έκφραση "ο τροχός κυλάει"; Όταν ένας τροχός κυλίεται πάνω σε μια επιφάνεια το σημείο που βρίσκεται σε επαφή με την επιφάνεια έχει σε κάθε στιγμή την ίδια ταχύτητα με την επιφάνεια. Επειδή συνήθως η επιφάνεια αυτή είναι το έδαφος, ο τροχός κυλίεται όταν το σημείο επαφής έχει ταχύτητα μηδέν . Αυτό δυσκολευόμαστε να το δεχθούμε, μας γεννιέται η απορία "μα πως είναι δυνατόν να είναι ακίνητο αφού ο τροχός κινείται". Ας σκεφτούμε το εξής παράδειγμα ένας αθλητής του στίβου να τρέχει. Σε κάθε στιγμή ο αθλητής κινείται όμως το πόδι του εκείνο που βρίσκεται σε επαφή με το έδαφος έχει μηδενική ταχύτητα. Τα καρφιά από αθλητικά παπούτσια έχουν εισχωρήσει στο έδαφος το πόδι δεν μετατοπίζεται σε σχέση με το έδαφος ενώ το σώμα του αθλητή κινείται. Βέβαια το πόδι δεν μένει συνέχεια καρφωμένο στο έδαφος (αν συνέβαινε αυτό τότε ο αθλητής θα γινόταν τιραμόλα) μετά από λίγο ο θα πάρει το πόδι του από το έδαφος αλλά θα σταθεροποιήσει το άλλο. Κάτι αντίστοιχο γίνεται και με έναν τροχό που κυλίεται το σημείο που έρχεται σε επαφή με το έδαφος έχει ταχύτητα μηδέν. Δεν σημαίνει όμως ότι το ΙΔΙΟ σημείο θα έχει πάντα ταχύτητα μηδέν. Αυτό συμβαίνει μόνο για μια χρονική στιγμή, την επόμενη χρονική στιγμή άλλο σημείο θα πάρει την θέση του προηγούμενου με ταχύτητα μηδέν. Φανταστείτε έναν οδοντωτό τροχό να κινείται στο έδαφος σε αναλογία με τον αθλητή. Πώς τα καταφέρνει ένας τροχός να κυλάει; Για να κυλίεται ο τροχός θα πρέπει όπως είπαμε το σημείο επαφής να έχει σε κάθε χρονική στιγμή την ίδια ταχύτητα με την επιφάνεια. Για να συμβεί αυτό αρκεί μια στιγμή να έχουν την ίδια ταχύτητα και σε κάθε χρονική την ίδια επιτάχυνση (για να είμαστε ακριβείς πρέπει η επιτάχυνση του επιπέδου και η συνιστώσα της επιτάχυνσης του σημείου σε διεύθυνση παράλληλη με το επίπεδο να είναι ίσες και αυτό γιατί υπάρχει και η κεντρομόλος επιτάχυνση της κυκλικής κίνησης αλλά αυτή δεν επηρεάζει το μέτρο της ταχύτητας στην διεύθυνση του επιπέδου). Έτσι όταν τροχός κυλίεται πάνω στο έδαφος για το σημείο επαφής το διανυσματικό άθροισμα της επιτροόχιας επιτάχυνσης της κυκλικής κίνησης και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας θα πρέπει να είναι μηδέν.Αν οι υπόλοιπες δυνάμεις δεν καταφέρνουν να του μηδενίσουν την επιτάχυνση τότε επιστρατεύεται η τριβή. Η στατική τριβή λοιπόν είναι τέτοια (σε μέτρο και κατεύθυνση) ώστε το σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος να έχει μηδενική επιτάχυνση. Ας δούμε ποια είναι η φορά της στατικής τριβής όταν έχουμε έναν τροχό ακτίνας r να κυλίεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο
Σε αυτήν την περίπτωση η συνισταμένη των δυνάμεων είναι η wx με αποτέλεσμα το κέντρο μάζας του τροχού να αποκτούσε επιτάχυνση αcm=-gημθ επομένως και το σημείο επαφής θα είχε επίσης την ίδια επιτάχυνση μιας και δεν υπάρχει άλλη δύναμη ή ροπή δύναμης. Οι υπάρχουσες λοιπόν δυνάμεις δεν μπορούν να προκαλέσουν κύλιση στον τροχό και έτσι επιστρατεύεται η στατική τριβή για να το πετύχει. Υποχρεωτικά η στατική τριβή πρέπει να έχει αντίθετη κατεύθυνση από την wx ειδάλλως θα ήταν αδύνατο το σημείο επαφής να έχει συνολικά μηδενική επιτάχυνση. Σημειώστε πως δεν έχει σημασία αν ο τροχός ανεβαίνει ή κατεβαίνει η στατική τριβή έχει πάντα (σε αυτό το πρόβλημα) κατεύθυνση αντίθετη της wx. Ας υπολογίσουμε την τιμή της.
Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση είναι Από τον πρώτο Νόμο του Νεύτωνα
Από τον δεύτερο νόμο λόγω της περιστροφικής κίνησης
Το σημείο Γ (σημείο επαφής του τροχού με το έδαφος) μετέχει σε δύο κινήσεις μιας μεταφορικής κίνησης με επιτάχυνση αcm και μιας κυκλικής με ακτίνα r. Λόγω της κυκλικής κίνησης το σημείο Γ έχει επιτρόχια επιτάχυνση
Η (2) με βάση την (3) γίνεται
Αντικαθιστώντας την (4) στην (1) έχουμε
και από την (4)
Ας σημειώσουμε ότι η αρχική ανάλυση για να βρούμε πια είναι η φορά της στατικής τριβής δεν είχε καμία επίδραση στην επίλυση του προβλήματος. Από την στιγμή που γνωρίζουμε ότι ο τροχός κυλίεται περισσότερο ψυχολογικό είναι το να σχεδιάσουμε σωστά την φορά της τριβής στο σχήμα παρά ουσιώδες. Είναι όπως ακριβώς κατά την κρούση που δεν γνωρίζουμε ποιες είναι οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση και σχεδιάζουμε τα διανύσματά τους. Αν από τα δεδομένα του προβλήματος "φαίνεται" ποιές είναι οι φορές των ταχυτήτων έχει καλώς και τις σχεδιάζουμε εξ αρχής σωστά αν όχι επιλύουμε το πρόβλημα και οι εξισώσεις θα προσδιορίσουν τις κατευθύνσεις τους. Τι γίνεται όμως αν εκτός από δύναμη έχουμε και ροπή δύναμης. Ποιά είναι τότε η φορά της στατικής τριβής; Στο παρακάτω παράδειγμα ο τροχός ακτίνας r κυλίεται πάνω στο έδαφος και ενεργεί δύναμη όπως το σχήμα σε απόσταση r από το κέντρο του τροχού.
Για να δούμε πρώτα μπορούν οι υπάρχουσες δυνάμεις και ροπές να κυλήσουν τον τροχό; Η δύναμη F προκαλεί επιτάχυνση στο σημείο Γ ίση με
η συνολική επιτάχυνση του σημείου Γ (σημείου επαφής) θα είναι
η οποία αν είναι μηδέν τότε έχουμε κύλιση χωρίς την ανάγκη της στατικής τριβής αν αΓ>0 τότε ο τροχός δεν μπορεί να κυλίεται και εμφανίζεται η στατική τριβή η οποία θα έχει αντίθετη κατεύθυνση της δύναμης F (αυξάνοντας το μέτρο της επιτρόχιος επιτάχυνση και μειώνοντας την επιτάχυνση του κέντρου μάζας) έτσι ώστε η συνιστάμενη επιτάχυνση να γίνει τελικά ίση με μηδέν, αν αΓ<0 δηλαδή το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι μεγαλύτερο απ' αυτό της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας οπότε η στατική τριβή θα έχει την κατεύθυνση της δύναμης F για να αυξηθεί η αcm και να ελαττωθεί η αε. οπότε
αν Ι=mr2 τότε δεν εμφανίζεται στατική τριβή. αν Ι>mr2 τότε η Στατική τριβή θα έχει αντίθετη κατεύθυνση της δύναμης F. αν I<mr2 τότε η Στατική τριβή θα έχει την ίδια κατεύθυνση με την δύναμη F. (Επειδή για τα συνηθισμένα σώματα (σφαίρα 2mr2/5, κύλινδρος mr2/2) η ροπή αδράνειας είναι μικρότερη του παράγοντα mr2 βγαίνει το συμπέρασμα ότι η στατική τριβή θα έχει την κατεύθυνση της F και θα μηδενίζεται στην περίπτωση που έχουμε στεφάνη.)
Η σανίδα του σχήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση Λύση Επειδή έχουμε κύλιση σε κάθε χρονική στιγμή η επιτάχυνση του σημείου επαφής θα είναι ίση με την επιτάχυνση της σανίδας. Το σημείο επαφής μετέχει σε δυο επιταχύνσεις την μεταφορική του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και την επιτρόχιο επιτάχυνση λόγω της περιστροφικής κίνησης του κυλίνδρου. Από τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα επειδή η στατική τριβή είναι η μοναδική δύναμη (στην διεύθυνση της ταλάντωσης) θα έχουμε
Εξαιτίας της περιστροφικής κίνησης
Λόγω της συνθήκης κύλισης
με επιτάχυνση
|
(1)
(2)
έτσι για να κυλίεται πρέπει
(3)
(4)
αλλά ταυτόχρονα επιτρόχιο επιτάχυνση 
και ο κύλινδρος αρχικά είναι ακίνητος. Μελετήστε την κίνηση που θα εκτελέσει ο κύλινδρος.( Ο συντελεστής στατικής τριβής είναι πολύ μεγάλος έτσι ώστε να έχουμε κύλιση).
| Σχόλια |
|