|
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε το φαινόμενο της Ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής σε κινούμενη ράβδο μέσα σε μαγνητικό πεδίο. Το μήκος της ράβδου είναι σταθερό και 1m. Έχουμε την δυνατότητα να αλλάξουμε τις αντιστάσεις του κυκλώματος καθώς και τις κλίμακες των διαγραμμάτων επιλέγοντας ρυθμίσεις. Για την λειτουργία της προσομοίωσης μπορούμε να σύρουμε την ράβδο για της αλλάξουμε την αρχική της θέση.
Ένας οριζόντιος ευθύγραμμος αγωγός μάζας $m=1\ \rm{kg}$ μήκους $\ell=1\ \rm{m}$ και αντίστασης $r=1\ Ω$ μπορεί να κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο ανάμεσα σε δύο κατακόρυφους μεταλλικούς αγωγούς μεγάλου μήκους και αμελητέας αντίστασης. Το επίπεδο κίνησης του αγωγού είναι κάθετο σε οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης $B=2\ \rm{T}$. Οι δύο κατακόρυφοι αγωγοί γεφυρώνονται με αντιστάτη αντίστσσης $R=1\ Ω$. Την χρονική στιγμή $t=0$ αφήνουμε τον αγωγό ελεύθερο.
A. Να εξηγήσετε το είδος της κίνησης που θα εκτλέσει ο αγωγός.
B. Να υπολογιστεί η οριακή ταχύτητα που αποκτά ο αγωγός.
Για να μελετήσουμε την κίνηση του αγωγού θα πρέπει να υπολογίσουμε την συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν πάνω στον αγωγό. Αχρικά η μόνη δύναμη που υπάρχει είναι το βάρος, με αποτέλεσμα η επιτάχυνση που αποτκτά ο αγωγός να είναι $g$ και να αυξάνεται η ταχύτητά του. Κατά την πτώση του αγωγού αυξάνεται η ροή περνά επιφάνεια που περικλείεται από τους κατακόρυφους αγωγούς τον αγωγό και τον αντιστάτη ($ΑΚΛΜΑ$). Η μεταβολή της ροής έχει ως αποτέλεσμα, σύμφωνα με τον νόμο του Faraday, την εμφάνιση ΗΕΔ από επαγωγή κατά μήκος της καμπύλης που περατώνεται της επιφάνειας. Επειδή το κύκλωμα είναι κλειστό διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα με φορά όπως στο σχήμα ώστε να αντιδρά στην αύξηση της ροής. Εξαιτίας του ρεύματος και του μαγνητικού πεδίου ο αγωγός δέχεται δύναμη Laplace αντίθετη της ταχύτητας που αποκτά ο αγωγός.
Η ροή που περνά από την επιφάνεια είναι
$$Φ=BA\,\mathsf{συν\,}φ$$
Όπου $φ$ η γωνία που σχηματίζει το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια $\vec n$ και της έντασης του μαγνητικού πεδίου $\vec B$. Με την επιλογή του $\vec n$ να είναι αντίθετο του $\vec B$ η γωνία $φ$ είναι $180°$ οπότε
$$Φ=-BA$$
$$Φ=-B\ell x$$
Η ΗΕΔ που αναπτύσεται είναι σύμφωνα με τον νόμο του Faraday
$$\mathcal{E}_{\varepsilon\pi}=-\frac{d\mathrm{\Phi}}{dt}$$
$$\mathcal{E}_{\varepsilon\pi}=-\frac{d\left(-Bxl\right)}{dt}$$
$$\mathcal{E}_{\varepsilon\pi}=B\upsilon l$$
Η ΗΕΔ είναι θετική δηλαδή η ένταση του επαγώμενου ηλεκτρικού ρεύματος έχει την θετική φορά διαγραφής.
Η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα θα είναι
$$i=\frac{\mathcal{E}_{\varepsilon\pi}}{R_\mathsf{ολ}}$$
$$i=\frac{υB\ell}{R_\mathsf{ολ}}$$
$$i=\frac{υB\ell}{R+r}$$
Για να υπολογίσουμε την επιτάχυνση του αγωγού θα εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα
$$\sum {F = ma} $$
$$mg-F_{\rm{L}}=ma$$
$$mg-Bi\ell=ma$$
$$mg-\frac{υB^2\ell^2}{R+r}=ma$$
|
$$a=g-\frac{υB^2\ell^2}{m(R+r)}$$ |
$$(1)$$ |
Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει πως καθώς η ταχύτητα του αγωγού αυξάνεται η επιτάχυνση ελαττώνεται συνεχώς. Μετά από την πάροδο κάποιου χρόνου η επιτάχυνση μηδενίζεται και ο αγωγός κινείται με σταθερή ταχύτητα (οριακή ταχύτητα). Όταν $a=0$ τότε $υ=υ_\mathsf{ορ}$
$$0=g-\frac{υ_\mathsf{ορ}B^2\ell^2}{m(R+r)}$$
|
$$υ_\mathsf{ορ}=\frac{mg(R+r)}{B^2\ell^2}$$ |
$$(2)$$ |
Με αντικατάσταση προκύπτει
$$υ_\mathsf{ορ}=\frac{1\cdot 10\cdot(1+1)}{2^2\cdot 1^2}$$
|
$$υ_\mathsf{ορ}=5\ \rm{m/s}$$ |
$$(3)$$ |
| 
