Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Δύο πράγματα είναι άπειρα. Το σύμπαν και η ανθρώπινη βλακεία, και ως προς το πρώτο έχω κάποιες αμφιβολίες.

A. Einstein

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Μηχανική arrow Κύλιση Σφαίρας σε Ημικύκλιο - HTML5
Ιούν
27
2020
Κύλιση Σφαίρας σε Ημικύκλιο - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(2 ψήφοι)
Εφαρμογή με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την κύλιση μιας σφαίρας σε ημικύκλιο. Θεωρούμε πως η κύλιση αρχίζει την στιγμή που την αφήνουμε ελεύθερη.

Θεωρώντας ότι σε όλη την διάρκεια της κίνησης της σφαίρας έχουμε κύλιση τότε θα πρέπει η ταχύτητα του σημείου επαφής της σφαίρας με το ημικύκλιο να είναι μηδέν

Η κίνηση της σφαίρας μπορεί να αναλυθεί ως μια μεταφορά γύρω από ένα σημείο (εδώ το κέντρο $Κ$ της σφαίρας) και μια περιστροφή γύρω από το ίδιο σημείο.

$$υ_{\mathrm {K}}=ωr$$

Το κέντρο $Κ$ της σφαίρας εκτελεί κυκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα $Ω$, με κέντρο το σημείο $Ο$ (κέντρο του ημικυκλίου) και ακτίνα $R-r$ έτσι

$$υ_{\mathrm {K}}=Ω(R-r)$$

συνδιάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει

$$ωr=Ω(R-r)$$

Αν $dφ$ είναι η γωνία της επιβατικής ακτίνας και $dθ$ η γωνιακή μετατόπιση (η γωνία περιστροφής) της σφαίρας τότε

$$dθr=dφ(R-r)$$ $$dθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)dφ$$

 

$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)Δφ$$

$$(1)$$

Αν το κέντρο της σφαίρας διαγράψει τόξο $Δφ=\frac{π}{2}$ τότε η σφαίρα θα έχει περιστραφεί κατά

$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)\frac{π}{2}$$

Οι στροφές που θα έχει κάνει η σφαίρα θα είναι

$$N=\frac{Δθ}{2π}$$ $$N=\frac{1}{4}\left(\frac{R}{r}-1\right)$$

Αν $r=0.1\ \mathrm{m}$ και $R=0.8\ \mathrm{m}$ τότε

$$N=\frac14\left(\frac{2.8}{0.1}-1\right)$$

 

$$N=6.75\ \mathsf{στροφές}$$

 

Παρατηρήσεις

A.

Στο ίδιο αποτέλεσμα με την $1$ καταλήγαμε και αν την ταχύτητα του κέντρου $Κ$ της σφαίρας την υπολογίζαμε από την σχέση.

$$υ_Κ=\frac{ds_Κ}{dt}$$

Αν και δεν είναι απαραίτητο το κέντρο της σφαίρας να ταυτίζεται με το κέντρο μάζας γιατί το πρόβλημα είναι γεωμετρικό και όχι δυναμικό παρόλα αυτά θα γίνεται αναφορά στο κέντρο μάζας $\mathrm{cm}$ αντί του κέντρου $Κ$ της σφαίρας.

$$υ_\mathrm{cm}=\frac{ds_\mathrm{cm}}{dt}$$

Επειδή έχουμε κύλιση, θα ισχύει και $υ_\mathrm{cm}=ωr$ ή

$$ωr=\frac{ds_\mathrm{cm}}{dt}$$ $$\frac{dθ}{dt}r=\frac{dφ\left(R-r\right)}{dt}$$ $$rdθ=\left(R-r\right)dφ$$ $$dθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)dφ$$

 

$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)Δφ$$

$$(1)$$

B.

Η σφαίρα κατά την κίνησή της μέχρι το κατώτερο σημείο του ημικυκλίου άφησε σε αυτό ίχνος ίσο με μήκος του τεταρτοκυκλίου δηλαδή $s=\frac{2πR}{4}$. Αν στην σφαίρα είχαμε τυλίξει ένα νήμα το οποίο καθώς η σφαίρα κυλούσε αυτό ξετυλιγόταν τότε το μήκος του σχοινιού που θα είχε ξετυλιχθεί θα ήταν όσο και το μήκος του τεταρτοκυκλίου. Αυτό το μήκος θα ήταν ικανό να τυλίξει $\frac{s}{2πr}=7$ την σφαίρα (το πλήθος με τα σαμαράκια στην προσομοίωση). Αλλά αυτό το αποτέλεσμα δεν είναι οι στροφές που έκανε η σφαίρα είναι ο αριθμός που το αρχικό σημείο επαφής της σφαίρας με το ημικύκλιο ξανακούμπησε με το ημικύκλιο. Η έννοια στροφή της σφαίρας δεν σχετίζεται με το ημικύκλιο. Η σφαίρα θα μπορούσε να περιστρέφεται και χωρίς την ύπαρξη του ημικυκλίου. π.χ. Ας υποθέσουμε πως η σφαίρα μόλις έφτανε στο κατώτερο σημείο εκτελούσε οριζόντια βολή από κάποιο ύψος. Ποιά θα ηταν η απάντηση στο ερώτημα "πόσες στροφές εκτέλεσε η σφαίρα μέχρι να φτάσει στο έδαφος"; ή μήπως δεν μπορεί υφίσταται τέτοιο ερώτημα;

Ας δούμε ένα παράδειγμα με διαφορετικά νούμερα πχ αν $r=0.99\ \mathrm{m}$ και $R=1\ \mathrm{m}$ δηλαδή η σφαίρα ίσα που χωράρει στο ημικύκλιο, τότε το πηλίκο δίνει περίπου $1/4$

$$\frac{s}{2πr}=\frac{\frac{2πR}{4}}{2πr}=\frac{R}{4r}\simeq \frac14$$

ενώ οι στροφές της σφαίρας είναι περίπου μηδέν.

$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)\frac{π}{2}=\frac14\left(\frac{1}{0.99}-1\right)\simeq0$$

Δοκιμάστε με τα παραπάνω νούμερα στην προσομοίωση και θα δείτε πως η σφαίρα κάνει μια ανεπαίσθητη κίνηση και η γωνία στροφής είναι πάρα πολύ μικρή παρόλα αυτά όμως θα αφήσει ίχνος όσο και το μήκος του τεταρτοκυκλίου. 'Εκανε η σφαίρα $\frac14$ στροφές μέχρι να φτάσει στο κατώτερο σημείο;

 

Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 
Γιώργος Μακεδών  - Αριθμός στροφών   |37.6.65.xxx |01-Jul-2020 07:31:10
Προσπαθούσα να καταλάβω τη διαφορά των 6,75 στροφών και των 7 στροφών πουυπήρξε διαφορά στα αποτελέσματα του παλαιού συστήματος.
Η
προσομοίωση σου με βοήθησε αρκετά, να διώξω τις αμφιβολίες μου.
Ευχαριστώ.

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 04.07.20 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ηλεκτρομαγνητισμός

 
Joomla Templates by Joomlashack