|
Εφαρμογή με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την κύλιση μιας σφαίρας σε ημικύκλιο. Θεωρούμε πως η κύλιση αρχίζει την στιγμή που την αφήνουμε ελεύθερη.
Θεωρώντας ότι σε όλη την διάρκεια της κίνησης της σφαίρας έχουμε κύλιση τότε θα πρέπει η ταχύτητα του σημείου επαφής της σφαίρας με το ημικύκλιο να είναι μηδέν
Η κίνηση της σφαίρας μπορεί να αναλυθεί ως μια μεταφορά γύρω από ένα σημείο (εδώ το κέντρο $Κ$ της σφαίρας) και μια περιστροφή γύρω από το ίδιο σημείο.
$$υ_{\mathrm {K}}=ωr$$
Το κέντρο $Κ$ της σφαίρας εκτελεί κυκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα $Ω$, με κέντρο το σημείο $Ο$ (κέντρο του ημικυκλίου) και ακτίνα $R-r$ έτσι
$$υ_{\mathrm {K}}=Ω(R-r)$$
συνδιάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει
$$ωr=Ω(R-r)$$
Αν $dφ$ είναι η γωνία της επιβατικής ακτίνας και $dθ$ η γωνιακή μετατόπιση (η γωνία περιστροφής) της σφαίρας τότε
$$dθr=dφ(R-r)$$
$$dθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)dφ$$
|
$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)Δφ$$ |
$$(1)$$ |
Αν το κέντρο της σφαίρας διαγράψει τόξο $Δφ=\frac{π}{2}$ τότε η σφαίρα θα έχει περιστραφεί κατά
$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)\frac{π}{2}$$
Οι στροφές που θα έχει κάνει η σφαίρα θα είναι
$$N=\frac{Δθ}{2π}$$
$$N=\frac{1}{4}\left(\frac{R}{r}-1\right)$$
Αν $r=0.1\ \mathrm{m}$ και $R=0.8\ \mathrm{m}$ τότε
$$N=\frac14\left(\frac{2.8}{0.1}-1\right)$$
|
$$N=6.75\ \mathsf{στροφές}$$ |
|
Παρατηρήσεις
A.
Στο ίδιο αποτέλεσμα με την $1$ καταλήγαμε και αν την ταχύτητα του κέντρου $Κ$ της σφαίρας την υπολογίζαμε από την σχέση.
$$υ_Κ=\frac{ds_Κ}{dt}$$
Αν και δεν είναι απαραίτητο το κέντρο της σφαίρας να ταυτίζεται με το κέντρο μάζας γιατί το πρόβλημα είναι γεωμετρικό και όχι δυναμικό παρόλα αυτά θα γίνεται αναφορά στο κέντρο μάζας $\mathrm{cm}$ αντί του κέντρου $Κ$ της σφαίρας.
$$υ_\mathrm{cm}=\frac{ds_\mathrm{cm}}{dt}$$
Επειδή έχουμε κύλιση, θα ισχύει και $υ_\mathrm{cm}=ωr$ ή
$$ωr=\frac{ds_\mathrm{cm}}{dt}$$
$$\frac{dθ}{dt}r=\frac{dφ\left(R-r\right)}{dt}$$
$$rdθ=\left(R-r\right)dφ$$
$$dθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)dφ$$
|
$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)Δφ$$ |
$$(1)$$ |
B.
Η σφαίρα κατά την κίνησή της μέχρι το κατώτερο σημείο του ημικυκλίου άφησε σε αυτό ίχνος ίσο με μήκος του τεταρτοκυκλίου δηλαδή $s=\frac{2πR}{4}$. Αν στην σφαίρα είχαμε τυλίξει ένα νήμα το οποίο καθώς η σφαίρα κυλούσε αυτό ξετυλιγόταν τότε το μήκος του σχοινιού που θα είχε ξετυλιχθεί θα ήταν όσο και το μήκος του τεταρτοκυκλίου. Αυτό το μήκος θα ήταν ικανό να τυλίξει $\frac{s}{2πr}=7$ την σφαίρα (το πλήθος με τα σαμαράκια στην προσομοίωση). Αλλά αυτό το αποτέλεσμα δεν είναι οι στροφές που έκανε η σφαίρα είναι ο αριθμός που το αρχικό σημείο επαφής της σφαίρας με το ημικύκλιο ξανακούμπησε με το ημικύκλιο. Η έννοια στροφή της σφαίρας δεν σχετίζεται με το ημικύκλιο. Η σφαίρα θα μπορούσε να περιστρέφεται και χωρίς την ύπαρξη του ημικυκλίου. π.χ. Ας υποθέσουμε πως η σφαίρα μόλις έφτανε στο κατώτερο σημείο εκτελούσε οριζόντια βολή από κάποιο ύψος. Ποιά θα ηταν η απάντηση στο ερώτημα "πόσες στροφές εκτέλεσε η σφαίρα μέχρι να φτάσει στο έδαφος"; ή μήπως δεν μπορεί υφίσταται τέτοιο ερώτημα;
Ας δούμε ένα παράδειγμα με διαφορετικά νούμερα πχ αν $r=0.99\ \mathrm{m}$ και $R=1\ \mathrm{m}$ δηλαδή η σφαίρα ίσα που χωράρει στο ημικύκλιο, τότε το πηλίκο δίνει περίπου $1/4$
$$\frac{s}{2πr}=\frac{\frac{2πR}{4}}{2πr}=\frac{R}{4r}\simeq \frac14$$
ενώ οι στροφές της σφαίρας είναι περίπου μηδέν.
$$Δθ=\left(\frac{R}{r}-1\right)\frac{π}{2}=\frac14\left(\frac{1}{0.99}-1\right)\simeq0$$
Δοκιμάστε με τα παραπάνω νούμερα στην προσομοίωση και θα δείτε πως η σφαίρα κάνει μια ανεπαίσθητη κίνηση και η γωνία στροφής είναι πάρα πολύ μικρή παρόλα αυτά όμως θα αφήσει ίχνος όσο και το μήκος του τεταρτοκυκλίου. 'Εκανε η σφαίρα $\frac14$ στροφές μέχρι να φτάσει στο κατώτερο σημείο;
| 
