|
Εφαρμογή με την οποία μπορείς να μελετήσεις την κίνηση ενός σώματος πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Αν πατήσεις το πλήκτρο ρυθμίσεις εμφανίζεται ένα μενού απ' όπου μπορείς να ρυθμίσεις ποια διανύσματα θα εμφανίζονται. Μπορείς να σύρεις το σώμα, το κεκλιμένο επίπεδο, την ταχύτητα και το βάρος του σώματος.
Πρόβλημα
Εκτοξεύουμε ένα σώμα μάζας $m=2\ \rm{kg}$ πάνω σε ένα εκτοξεύεται προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης $θ=30°$ με αρχική ταχύτητα $υ_0=8\ \rm{m/s}$. Αν το δάπεδο δεν είναι λείο και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σώματος και επιπέδου είναι $μ=0.2$ ενώ ο συντελεστής στατικής τριβής $μ_\mathsf{σ}=0.6$ να βρεθούν
α) η επιτάχυνση του σώματος
β) η μετατόπιση του σώματος μέχρι να σταματήσει
γ) θα επιστρέψει το σώμα στην βάση του κεκλιμένου επιπέδου;
Λύση
α) Στο σώμα ενεργεί η δύναμη από το κεκλιμένο επίεπδο και το βάρος του σώματος. Η δύναμη από το κεκλιμένο επίπεδο έχει δύο συνιστώσες την κάθετη αντίδραση και την τριβή. Εππειδή την χρονική στιγμή $t=0$ το σώμα έχει ταχύτητα άρα η τριβή είναι τριβή ολίσθησης και έχει κατέυθυνση αντίθετη της ταχύτητας. Για τον υπολογισμό της επιτάχυνσης θα χρειαστεί να αναλύσουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες έτσι
$$w_x=mg\,\mathsf{ημ}\,θ$$
$$w_y=mg\,\mathsf{συν}\,θ$$
$$\sum {{F_y} = 0} $$
$$N+\left(-mg\,\mathsf{συν}\,θ\right)=0$$
|
$$N=mg\,\mathsf{συν}\,θ$$ |
$$(1)$$ |
Από τον δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα προκύπτει
$$\sum {{F_x} = ma} $$
$$(-w_x)+(-T)=ma$$
$$-mg\,\mathsf{ημ}\,θ-μmg\,\mathsf{συν}\,θ=ma$$
|
$$a=-\left(\mathsf{ημ}\,θ+μ\,\mathsf{συν}\,θ\right)g$$ |
$$(2)$$ |
Με αντικατάσταση προκύπτει πως
$$a=-\left(0.5+0.2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot 10$$
$$a=-6.7\ \rm{m/s^2}$$
β) Αρχικά θα βρούμε ποια χρονική στιγμή θα σταματήσει το σώμα
$$υ=υ_0+at$$
$$0=8-6.7t$$
$$t=1.2\ \rm{s}$$
Η μετατόπιση θα υπολογιστεί από την εξίσωση
$$Δx=υ_0t+\frac12 at^2$$
$$Δx=8\cdot 1.2+\frac12 (-6.7)\cdot 1.2^2$$
|
$$Δx=4.8\ \rm{m}$$ |
$$(3)$$ |
γ) Μόλις το σώμα σταματήσει τότε η τριβή γίνεται στατική τριβή. Για να κινηθεί το σώμα προς την βάση του κεκλιμένου επιπέδου θα πρέπει η $w_x$ να γίνει μεγαλύτερη από την μέγιστη στατική τριβή, δηλαδή
$$\mathsf{κίνηση\ προς\ τα\ κάτω\ όταν}$$
$$w_x>T_{\mathsf{σ}\rm{,max}}$$
$$mg\,\mathsf{ημ}\,θ>μ_\mathsf{σ}mg\,\mathsf{συν}\,θ$$
$$μ_\mathsf{σ}<\mathsf{εφ}\,θ$$
$$0.6<\mathsf{εφ}\,30°$$
$$0.6<0.58\ , \mathsf{άτοπο}$$
Άρα το σώμα δεν θα κινηθεί προς τα κάτω. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής ήταν πχ $0.5$ τότε το σώμα θα συνέχιζε μετά το στιγιμαίο σταμάτημά του προς την βάση του κεκλιμένου επιπέδου
|
