|
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός στερεού. Με την επιλογή 'Βαρύτητα' στην ουσία πρόκειται για κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, ενώ αν είναι αποεπιλιγμένη η αντίστοιχη επιλογή τότε η κίνηση πραγματοποιείται σε οριζόντιο επίπδο. Για να αλλάξουμε την αρχική θέση του σώματος μπορούμε να το σύρουμε.
Κινητική Ενέργεια Στερεού
Ας υποθέσουμε πως το σώμα του σχ. 1 περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα $ω$ γύρω από τον ακλόνητο άξονα $ΑΒ$. Για να υπολογίσουμε την κινητική του ενέργεια θεωρούμε ότι αποτελείται από μικρά σωματίδια με μάζες $m_1,m_2,\cdots$ τα οποία απέχουν αποστάσεις $r_1, r_2, \cdots$ από τον άξονα
(σχ. 1)
Τα σωματίδια αυτά έχουν ταχύτητες
$$υ_1=ωr_1,υ_2=ωr_2,\dots$$
H κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σωματιδίων που το αποτελούν έτσι
$$K=\frac12m_1υ_1^2+\frac12m_2υ_2^2+\cdots$$
$$K=\frac12m_1ω^2r_1^2+\frac12m_2ω^2r_2^2+\cdots$$
$$K=\frac12\left(m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots\right)ω^2$$
|
$$K=\frac12 Iω^2$$ |
$$(1)$$ |
Όπου $I$ η ροπή αδράνειας ώς προς τον άξονα $ΑΒ$ ο οποίος είναι παράλληλος με διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας $\vec ω$
Γενικότερα αποδεικνύεται πως για οποιαδήποτε κίνηση η κινητική ενέργεια ενός στερεού δίνεται από την εξίσωση
|
$$K=\frac12 mυ_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2$$ |
$$(2)$$ |
Όπου $I_\mathrm{cm}$ η ροπή αδράνειας ώς προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος με διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας $\vec ω$ και $\vec υ_\mathrm{cm}$ η ταχύτητα του κέντρου μάζας.
Παρατήρηση:
Η εξίσωση $(2)$ ισχύει σε κάθε περίπτωση και όχι μόνο για την "σύνθετη κίνηση". Αν πχ το στερεό εκτελούσε στροφική κίνηση γύρω από τον άξονα $ΑΒ$ ο οποίος δεν περνά από το κέντρο μάζας του σώματος και $d$ ήταν η απόσταση ενός άλλου παράλληλου άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του στερεού τότε επειδή το κέντρο μάζας θα είναι είχε ταχύτητα $υ_\mathrm{cm}=ωd$ από την εξίσωση $(2)$ προκύπτει
$$K=\frac12 mυ_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2$$
$$K=\frac12 mω^2d^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2$$
$$K=\frac12 \left(md^2+I_\mathrm{cm}\right)ω^2$$
Η παρένθεση στην παραπάνω σχέση είναι ίση με την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα $ΑΒ$ λόγω του θεωρήματος Steiner
$$K=\frac12 I_{ΑΒ}ω^2$$
καταλήξαμε δηλαδή από την εξίσωση $(2)$ στην εξίσωση $(1)$ που ισχύει μόνο στην στροφική κίνηση.
Δυναμική Ενέργεια Στερεού
Ας υποθέσουμε πως το στερεό βρίσκεται σε κάποιο ύψος από μια οριζόντια επιφάνεια την οποία θα θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια. Θεωρούμε ότι το στερεό αποτελείται από σωματίδια με μάζες $m_1,m_2,\cdots$ τα οποία απέχουν $y_1,y_2,\cdots$ από την οριζόντια επιφάνεια τότε η δυναμική ενέργεια του στερεού θα είναι
$$U=m_1gy_1+m_2gy_2+\cdots$$
$$U=\left(m_1y_1+m_2y_2+\cdots\right)g$$
Από τον ορισμό του κέντρου μάζας
$$y_\mathrm{cm}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots}{m}$$
$$m_1y_1+m_2y_2+\cdots=my_\mathrm{cm}$$
προκύπτει
|
$$U=mgy_\mathrm{cm}$$ |
$$(3)$$ |
Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας
Το θεώρημα μεταβολής της κινητική ενέργειας ισχύει όπως το ξέρουμε. Το διαφορετικό που έχουμε στην περίπτωση του στερεού είναι πως το κάθε σημείο μετατοπίζεται με διαφορετικό τρόπο. Έτσι όταν υπολογίζουμε το ολικό έργο πρέπει να βρούμε το έργο κάθε μιας δύναμης ξεχωριστά και να προσθέσουμε τα παραπάνω έργα. Δηλαδή $W_\mathsf{ολ}=W_{F_1}+W_{F_2}+\cdots$
$$ΔK=W_\mathsf{ολ}$$
$$K'-K=W_{F_1}+W_{F_2}+\cdots$$
|
$$\left({\frac12 m{υ'}_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω'^2}\right)-\left({\frac12 mυ_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2}\right)=W_{F_1}+W_{F_2}+\cdots$$ |
$$(5)$$ |
| 
