Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Αν μια σταγόνα νερού την μοιράσουμε σε όλο τον κόσμο πόσα μόρια θα πάρει ο καθένας μας;


300.000.000.000 (τριακόσια δισεκατομύρια μόρια ο καθένας!) 

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Μηχανική arrow Θεώρημα Έργου Ενέργειας - HTML5
Νοέ
17
2019
Θεώρημα Έργου Ενέργειας - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(0 ψήφοι)
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός στερεού. Με την επιλογή 'Βαρύτητα' στην ουσία πρόκειται για κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο, ενώ αν είναι αποεπιλιγμένη η αντίστοιχη επιλογή τότε η κίνηση πραγματοποιείται σε οριζόντιο επίπδο. Για να αλλάξουμε την αρχική θέση του σώματος μπορούμε να το σύρουμε.

Κινητική Ενέργεια Στερεού

Ας υποθέσουμε πως το σώμα του σχ. 1 περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα $ω$ γύρω από τον ακλόνητο άξονα $ΑΒ$. Για να υπολογίσουμε την κινητική του ενέργεια θεωρούμε ότι αποτελείται από μικρά σωματίδια με μάζες $m_1,m_2,\cdots$ τα οποία απέχουν αποστάσεις $r_1, r_2, \cdots$ από τον άξονα


(σχ. 1)

Τα σωματίδια αυτά έχουν ταχύτητες $$υ_1=ωr_1,υ_2=ωr_2,\dots$$

H κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σωματιδίων που το αποτελούν έτσι

$$K=\frac12m_1υ_1^2+\frac12m_2υ_2^2+\cdots$$ $$K=\frac12m_1ω^2r_1^2+\frac12m_2ω^2r_2^2+\cdots$$ $$K=\frac12\left(m_1r_1^2+m_2r_2^2+\cdots\right)ω^2$$

 

$$K=\frac12 Iω^2$$

$$(1)$$

Όπου $I$ η ροπή αδράνειας ώς προς τον άξονα $ΑΒ$ ο οποίος είναι παράλληλος με διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας $\vec ω$

Γενικότερα αποδεικνύεται πως για οποιαδήποτε κίνηση η κινητική ενέργεια ενός στερεού δίνεται από την εξίσωση

 

$$K=\frac12 mυ_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2$$

$$(2)$$

Όπου $I_\mathrm{cm}$ η ροπή αδράνειας ώς προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος με διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας $\vec ω$ και $\vec υ_\mathrm{cm}$ η ταχύτητα του κέντρου μάζας.

Παρατήρηση:
Η εξίσωση $(2)$ ισχύει σε κάθε περίπτωση και όχι μόνο για την "σύνθετη κίνηση". Αν πχ το στερεό εκτελούσε στροφική κίνηση γύρω από τον άξονα $ΑΒ$ ο οποίος δεν περνά από το κέντρο μάζας του σώματος και $d$ ήταν η απόσταση ενός άλλου παράλληλου άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του στερεού τότε επειδή το κέντρο μάζας θα είναι είχε ταχύτητα $υ_\mathrm{cm}=ωd$ από την εξίσωση $(2)$ προκύπτει $$K=\frac12 mυ_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2$$ $$K=\frac12 mω^2d^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2$$ $$K=\frac12 \left(md^2+I_\mathrm{cm}\right)ω^2$$ Η παρένθεση στην παραπάνω σχέση είναι ίση με την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα $ΑΒ$ λόγω του θεωρήματος Steiner $$K=\frac12 I_{ΑΒ}ω^2$$ καταλήξαμε δηλαδή από την εξίσωση $(2)$ στην εξίσωση $(1)$ που ισχύει μόνο στην στροφική κίνηση.

 

Δυναμική Ενέργεια Στερεού

Ας υποθέσουμε πως το στερεό βρίσκεται σε κάποιο ύψος από μια οριζόντια επιφάνεια την οποία θα θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια. Θεωρούμε ότι το στερεό αποτελείται από σωματίδια με μάζες $m_1,m_2,\cdots$ τα οποία απέχουν $y_1,y_2,\cdots$ από την οριζόντια επιφάνεια τότε η δυναμική ενέργεια του στερεού θα είναι

$$U=m_1gy_1+m_2gy_2+\cdots$$ $$U=\left(m_1y_1+m_2y_2+\cdots\right)g$$ Από τον ορισμό του κέντρου μάζας $$y_\mathrm{cm}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+\cdots}{m}$$ $$m_1y_1+m_2y_2+\cdots=my_\mathrm{cm}$$ προκύπτει

 

$$U=mgy_\mathrm{cm}$$

$$(3)$$

 

Έργο δύναμης στην σύνθετη κίνηση

Γνωρίζουμε πως μια μετατόπιση ενός στερεού μπορεί να θεωρηθεί ως μια μετατόπιση του κέντρου μάζας έστω $\vec s_\mathrm{cm}$ και μια μετατόπιση λόγω περιστροφικής κίνησης γύρω από το κέντρο μάζας έστω $\vec s_\mathsf{περ.}$ το έργο μιας δύναμης $\vec F$ θα είναι

$$W_F=\vec F \cdot \vec s$$ $$W_F=\vec F \cdot \left({\vec s_\mathrm{cm} + \vec s_\mathsf{περ.}}\right)$$ $$W_F=\vec F \cdot {\vec s_\mathrm{cm}} + \vec F \cdot {\vec s_\mathsf{περ.}}$$

 

$$W_F=W_{F\ (\mathsf{στην\ μεταφορική})}+W_{τ\ (\mathsf{στην\ περιστροφική})}$$

$$(4)$$

 

Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας

Το θεώρημα μεταβολής της κινητική ενέργειας ισχύει όπως το ξέρουμε. Το διαφορετικό που έχουμε στην περίπτωση του στερεού είναι πως το κάθε σημείο μετατοπίζεται με διαφορετικό τρόπο. Έτσι όταν υπολογίζουμε το ολικό έργο πρέπει να βρούμε το έργο κάθε μιας δύναμης ξεχωριστά και να προσθέσουμε τα παραπάνω έργα. Δηλαδή $W_\mathsf{ολ}=W_{F_1}+W_{F_2}+\cdots$

$$ΔK=W_\mathsf{ολ}$$ $$K'-K=W_{F_1}+W_{F_2}+\cdots$$

 

$$\left({\frac12 m{υ'}_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω'^2}\right)-\left({\frac12 mυ_\mathrm{cm}^2+\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2}\right)=W_{F_1}+W_{F_2}+\cdots$$

$$(5)$$

Λόγω της προηγούμενης ανάλυσης για το έργο δύναμης μπορούμε να γράψουμε για το ολικό έργο

$$W_\mathsf{ολ} = W_{\sum F\ (\mathsf{στην\ μεταφορική})}+W_{\sum τ\ (\mathsf{στην\ περιστροφική})}$$ ή

 

$$K'-K=W_{\sum F\ (\mathsf{στην\ μεταφορική})}+W_{\sum τ\ (\mathsf{στην\ περιστροφική})}$$

$$(6)$$

Επειδή η κίνηση του κέντρου μάζας είναι ίδια με την κίνηση ενός υλικού σημείου με μάζα ίση με αυτήν του στερεού στο οποίο ενεργούν όλες οι δυνάμεις τότε αν εφαρμόσουμε το ΘΜΚΕ για το κέντρο μάζας θα προκύψει

 

$$\frac12 m{υ'}_\mathrm{cm}^2- \frac12 m{υ}_\mathrm{cm}^2=W_{\sum F\ (\mathsf{στην\ μεταφορική})}$$

$$(7)$$

οπότε από την $(6)$ και $(7)$

 

$$\frac12 I_\mathrm{cm}ω'^2-\frac12 I_\mathrm{cm}ω^2=W_{\sum τ\ (\mathsf{στην\ περιστροφική})}$$

$$(8)$$

Δηλαδή μπορούμε για τους υπολογισμούς να αποσυνδέσουμε την μια κίνηση από την άλλη. Να σημειωθεί πως αν και οι υπολογισμοί γίνονται με διαχωριζόμενες κινήσεις στην πραγματικότητα όμως η κίνηση του στερεού είναι μια ενιαία.

Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 18.11.19 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ταλαντώσεις και Κύματα

Ηλεκτρομαγνητισμός

Οπτική

 
Joomla Templates by Joomlashack