|
|
Το Καρούλι (Ενεργειακά) - HTML5 |
|
|
|
Άσκηση
Το στερεό του σχήματος αποτελείται από δύο δίσκους ακτίνας $R$ και μάζας $M$ και από έναν κύλινδρο ακτίνας $r$ και μάζας $m$. Στο καρούλι ασκείται δύναμη $\vec F$ όπως φαίνεται στο σχήμα με αποτέλεσμα το καρούλι να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογιστεί
1. Η επιτάχυνση που αποκτά το καρούλι
2. Το έργο της δύναμης για μετατόπιση του καρολιού κατά $Δx_\mathrm{cm}$
Λύση
1.
Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα έχουμε
$$\sum \vec F=m\vec a_\mathrm{cm}$$
|
$$F-T_\mathsf{σ}=m_\mathsf{ολ}a_\mathrm{cm}$$ |
$$(1)$$ |
Για την στροφική κίνηση ισχύει
$$\left(\sum τ\right)_\mathrm{cm}=I_\mathrm{cm}\alpha_\mathsf{γων}$$
$$T_\mathsf{σ}R+Fr=I_\mathrm{cm}\alpha_\mathsf{γων}$$
|
$$T_\mathsf{σ}+F\frac{r}{R}=\frac{I_\mathrm{cm}}{R^2}a_\mathrm{cm}$$ |
$$(2)$$ |
Όπου
$$I_\mathrm{cm}=MR^2+\frac12 mr^2$$
Με πρόσθεση κατά μέση των εξισώσεων (1) και (2) προκύπτει
$$F\left(1+\frac{r}{R}\right)=\left(m_\mathsf{ολ}+\frac{I_\mathrm{cm}}{R^2}\right)a_\mathrm{cm}$$
|
$$a_\mathrm{cm}=\frac{F\left(1+\frac{r}{R}\right)}{\left(m_\mathsf{ολ}+\frac{I_\mathrm{cm}}{R^2}\right)}$$ |
$$(3)$$ |
2.
Υπάρχουν δύο ισοδύναμες διαδικασίες για τον υπολογισμό του έργου της δύναμης. Η πρώτη στηρίζεται αποκλειστικά στον ορισμό του έργου δηλαδή
ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ = ΔΥΝΑΜΗ x ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ
Το σημείο εφαρμογής της δύναμης είναι το σημείο $Α$. Η μετατόπιση του οποίου είναι ίση με το άθροισμα μιας μετατόπισης του κέντρου μάζας και μιας μετατόπισης λόγω περιστροφικής κίνησης δηλαδή
$$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}+\ell$$
$$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}+rΔθ$$
$$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}+r\frac{Δx_\mathrm{cm}}{R}$$
$$Δx_Α=Δx_\mathrm{cm}\left(1+\frac{r}{R}\right)$$
όμως
$$W_F=FΔx_Α$$
ή
|
$$W_F=FΔx_\mathrm{cm}\left(1+\frac{r}{R}\right)$$ |
$$(4)$$ |
Αν και η κίνηση του στερεού είναι μια και ενιαία για υπολογισμούς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το έργο της δύναμης υπολογίζεται από άθροισμα δύο τμημάτων το ένα τμήμα αντιπροσωπεύει έργο που είχαμε αν η κίνηση ήταν μεταφορική με ταχύτητα ίση με το κέντρο μάζας και το άλλο το έργο που θα είχαμε αν το στερεό εκτελούσε μόνο περιστροφική κίνηση
$$W_F=W_{F\ (\mathsf{στην\ μεταφορική})}+W_{τ\ (\mathsf{στην\ περιστροφική})}$$
$$W_F=FΔx_\mathrm{cm}+τΔθ$$
$$W_F=FΔx_\mathrm{cm}+FrΔθ$$
$$W_F=FΔx_\mathrm{cm}+Fr\frac{Δx_\mathrm{cm}}{R}$$
$$W_F=FΔx_\mathrm{cm}\left(1+\frac{r}{R}\right)$$ |
|
|
Τελευταία ανανέωση ( 12.12.21 )
|
