Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Πόσο γρήγορα κινούνται τα ηλεκτρόνια μέσα στα σύρματα όταν τα τελευταία διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα;

Ένα χιλιοστό στο δευτερόλεπτο, τόσο γρήγορα όσο και τα σαλιγκάρια!

Και τότε γιατί ανάβει αμέσως η λάμπα όταν ανάβουμε το φως;

Γιατί μέσα στα καλώδια υπάρχουν παντού ηλεκτρόνια και αρχίζουν να κινούνται ταυτόχρονα. Δεν χρειάζεται δηλαδή ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κοντά στον διακόπτη να φτάσει στην λάμπα για να ανάψει. Η διαταγή να κινηθούν όλα ταυτόχρονα (όταν πιέσουμε τον διακόπτη) μεταδίδεται με την ταχύτητα του φωτός.

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Μηχανική arrow Έργο Δύναμης στην στροφική κίνηση - HTML5
Νοέ
15
2019
Έργο Δύναμης στην στροφική κίνηση - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(0 ψήφοι)
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση μιας αρθρωμένης ράβδου όταν σε αυτήν ενεργεί μια δύναμη σταθερού μέτρου. Μπορούμε να σύρουμε την ράβδο για να αλλάξουμε την αρχική της θέση καθώς επίσης και το διάνυσμα της δύναμης.

Έργο δύναμης

Το έργο μιας σταθερής δύναμης $\vec F=\left(F_x,F_y\right)$ για μετατόπιση $\vec s=\left(Δx,Δy\right)$ ορίζεται από το εσωτερικό γινόμενο των δύο μεγεθών δηλαδή $$W_F=\vec F\cdot\vec s$$

Παρατήρηση: Στην διεθνή βιβλιογραφία με το σύμβολο $s$ συμβολίζεται το μήκος τόξου αλλά και η μετατόπιση $\vec s$. Εδώ χρησιμοποιείται με την έννοια της μετατόπισης.

Η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με

$$W_F=\left| {\vec F} \right|\left| {\vec s} \right|\mathsf{\,συν\,}θ$$ ή $$W_F=F_xΔx+F_yΔy$$

Αν η μετατόπιση περιορίζεται μόνο στον άξονα $xx'$ δηλαδή όταν $Δy=0$ τότε

 

$$W_F=F_xΔx$$

$$(1)$$


(σχ. 1)

Από την εξίσωση $(1)$ συμπαιρένουμε πως το έργο της δύναμης $\vec F$ είναι ίσο με το έργο της συνιστώσας της πάνω στην μετατόπιση.

Αν η δύναμη δεν είναι σταθερή τότε η παραπάνω εξίσωση ισχύει μόνο για στοιχειώδεις μετατοπίσεις δηλαδή το στοιχειώδες έργο $dW_F$ για μια πολύ μικρή μετατόπιση $dx$ είναι $$dW_F=F_xdx$$ Αν θέλουμε να βρούμε το έργο μιας μη σταθερής δύναμης για μια μετατόπιση $Δx$ (όχι απειροστή) τότε χωρίζουμε την μετατόπιση σε πολύ μικρές μετατοπίσεις $dx$, υπολογίζουμε το στοιχειώδες έργο σε κάθε μια μικρή μετατόπιση και το άθροισμα όλων των μικρών αυτών έργων αποτελεί το έργο της δύναμης. $$W_F=dW_1+dW_2+\dots=F_{x(1)}dx_1+F_{x(2)}dx_2+\cdots$$

Γεωμετρικά το παραπάνω άθροισμα εκφράζει το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται από την γραφική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με την θέση, του άξονα $xx'$ της αρχικής θέσης $x_1$ και της τελικής θέσης $x_2$.


(σχ. 2)

Έργο στην περιστροφική κίνηση

Στο παρακάτω σχήμα μια δύναμη $\vec F$ είναι κάθετη στο άκρο μιας ράβδου η οποία κάνει στροφική κίνηση γύρω από ένα σημείο $Ο$. Το ζητούμενο είναι το έργο της δύναμης για μια γωνιακή μετατόπιση $Δθ$.


(σχ. 3)

Όταν ένα στερό κινείται τότε κάθε σημείο του έχει διαφορετική μετατόπιση. Όταν θα υπολογίζουμε το έργο μιας δύναμης κατά την κίνηση ενός στερεού τότε μας ενδιαφέρει η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης

ΈΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ = ΔΥΝΑΜΗ x ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Το στοιχειώδες έργο της δύναμης $\vec F$ για μετατόπιση $ds$ είναι $$dW_F=Fds$$ $$dW_F=F\ell dθ$$

 

$$dW_F=τ\,dθ$$

$$(2)$$

όπου $τ$ η ροπή της δύναμης $\vec F$ ως προς το σημείο $Ο$.

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης για μια γωνιακή μετατόπιση $Δθ$ (όχι στοιχειώδη) τότε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα. Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή τότε

 

$$W_F=τ\,Δθ$$ Όταν $τ=\mathsf{σταθ.}$

$$(3)$$

Η ισχύς της δύναμης $\vec F$ είναι $$P_F=\frac{dW_F}{dt}$$ $$P_F=\frac{τ\,dθ}{dt}$$

 

$$P_F=τ\,ω$$

$$(4)$$

Παρατηρήσεις:
1. Η εξίσωση $(3)$ πολλές φορές ονομάζεται και έργο ροπής δύναμης. Θα πρέπει όμως να είμαστε πολύ προσεκτικοί με τέτοιες εκφράσεις διότι δημιουργούν παρανοήσεις. Δηλαδή δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές έννοιες μια "έργο ροπής" και μια "έργο δύναμης". Μια έννοια υπάρχει και αυτή είναι το έργο της δύναμης $\vec F$ το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με δύο διαφορετικούς τρόπους. Στην σύνθετη κίνηση όταν λέμε "έργο ροπής" εννούμε στο έργο της δύναμης αν το σώμα έκανε μόνο περιστροφική κίνηση.
2. Ενώ η εξίσωση $(3)$ απαιτεί η ροπή της δύναμης να είναι σταθερή, η εξίσωση $(4)$ δεν το απαιτεί και μας δίνει την ισχύ της δύναμης την χρονική στιγμή για την οποία η γωνιακή ταχύτητα είναι $ω$ και η ροπή της δύναμης $\vec F$ ως προς το σημείο $Ο$ είναι $τ$.
3. Η εξίσωση $(3)$ ισχύει και στην περίπτωση που η δύναμη δεν είναι κάθετη στην ράβδο αρκεί να είναι σταθερή.

Παράδειγμα

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται με κατακόρυφη ράβδος μάζας $M$. Στο άκρο $Α$ της ράβδου ενεργεί σταθερή δύναμη $\vec F$ η οποία είναι συνεχώς κάθετη στην ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται κατά γωνία $Δθ=\frac{π}{2}$ και έρχεται σε οριζόντια θέση. Να υπολογιστούν
1. Το έργο του βάρους και το έργο της δύναμης $\vec F$ για την παραπάνω μετατόπιση
2. Την ισχύ του βάρους και την ισχύ της δύναμης $\vec F$ όταν αυτή σχηματίζει γωνία $θ$ με την κατακόρυφο και έχει γωνιακή ταχύτητα $ω$.


(σχ. 4)

Λύση

Επειδή το βάρος είναι σταθερή δύναμη μπορούμε να το υπολογίσουμε μέσω της εξίσωσης

$$W_w=-Mg\frac{\ell}{2}$$

Αν προσπαθούσαμε να υπολογίσουμε το έργο του βάρους μέσω της στροφικής κίνησης τότε δεν μπορούμε μέσω της εξίσωσης $(3)$ γιατί η ροπή του βάρους δεν είναι σταθερή. Όμως το στοιχειώδες έργο είναι $$dW_w=-Mg\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,}θ\,dθ$$

Για να βρούμε το έργο του βάρους θα πρέπει να προσθέσουμε τα στοιχειώδη έργα μέχρι την οριζόντια θέση. Αποδεικνύεται με μαθηματικά $\left(\int\limits_0^{\pi /2} {\mathsf{ημ\,}θ\, d\theta }=1\right) $ ότι προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα $W_w=-Mg\frac{\ell}{2}$. Η ισχύς του βάρους μπορεί να υπολογιστεί απο την εξίσωση $(4)$ και είναι

$$P_w=\frac {dW_w}{dt}$$ $$P_w=-Mg\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,}θ\,ω$$ Η ισχύς του βάρους Θα μπορούσε να υπολογιστεί και μέσω της εξίσωσης $P_F=\vec F\cdot \vec υ$ ή $P_F=F_xυ$ $$P_w=-w_xυ_Κ$$ $$P_w=-Mg\mathsf{\,ημ\,}θ\,υ_Κ$$ $$P_w=-Mg\mathsf{\,ημ\,}θ\,ω\frac{\ell}{2}$$ $$P_w=-Mg\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,}θ\,ω$$ Καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα

Το έργο της δύναμης $\vec F$ υπολογίζεται από την εξίσωση $(3)$ γιατί η ροπή της είναι σταθερή και είναι

$$W_F=τ\,Δθ$$ $$W_F=F\ell\frac{π}{2}$$ Η ισχύς της δύναμης $\vec F$ είναι $$P_F=τ\,ω$$ $$P_F=F\ell ω$$
Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 18.11.19 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ταλαντώσεις και Κύματα

Ηλεκτρομαγνητισμός

Οπτική

 
Joomla Templates by Joomlashack