|
|
Διαρήτηση Στροφορμής κατά την κρούση σφαίρας με ράβδο - HTML5 |
|
|
|
|
Προσομοίωση με την οποία μπορούμε να μελετήσουμε την διατήρηση της στροφορμής όταν ένα βλήμα συγκρούεται με μια ακίνητη ράβδο. Το βλήμα σφηνώνεται στην ράβδο σε απόσταση r από την άρθρωση και με γωνία φ σε σχέση με τον άξονα xx'.
Άσκηση
Βλήμα μάζας $m=1\ \mathrm{kg}$ κινείται οριζόντια με ταχύτητα $υ_0=10\ \mathrm{m/s}$ και σφηνώνται σε απόσταση $r=1\ \mathrm{m}$ από το σημείο $Ο$ μιας αρθρωμένης ράβδου μήκους $\ell=1\ \mathrm{m}$ η οποία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο της άρθρωσής της σε κατακόρυφο επίπεδο. Η μάζα της ράβδου είναι $M=3\ \mathrm{kg}$. Αν κρούση διαρκεί ελάχιστα να βρείτε:
α) τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση
β) τη μέγιστη γωνία $\phi$ εκτροπής της ράβδου από την κατακόρυφη θέση ,
γ) την ταχύτητα που θα έπρεπε να έχει το βλήμα πριν την κρούση ώστε το σύστημα ράβδος-βλήμα να κάνει ανακύκλωση;
$I_\mathrm{cm}=\frac{1}{12}M\ell^2,\ g=10\ \mathrm{m/s^2}$.
Λύση
H ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το σημείο ανάρτησής της είναι
$$I=\frac{1}{12}M\ell^2+M\left(\frac{\ell}{2}\right)^2$$
$$I=\frac{1}{3}M\ell^2$$
ενώ του συστήματος αμέσως μετά την κρούση
$$I=\frac{1}{3}M\ell^2+mr^2$$
με αντικατάσταση
$$I=\frac13\cdot 3\cdot 1^2+1\cdot 1^2$$
$$I=2 \mathrm{kg\cdot m^2}$$
α) Κατά την κρούση ισχύει η διατήρηση της στροφορμής ως προς το σημείο από το οποίο είναι αναρτημένη η ράβδος
$$L=L'$$
$$mυ_0r=Iω$$
$$ω=\frac{mυ_0r}{I}$$
με αντικατάσταση
$$ω=\frac{1\cdot 10\cdot 1}{2}$$
|
$$ω=5\ \mathrm{rad/s}$$ |
$$(1)$$ |
β) Έστω $θ$ είναι η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την οριζόντια διεύθυνση όταν αυτή σταματά στιγμιαία. Εφαρμόζοντας το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας για τις θέσεις αμέσως μετά την κρούση και όταν σταματά στιγμιαία το σύστημα, θεωρώντας ως επίπεδο αναφοράς της δυναμικής ενέργειας το άκρο της ράβδου, έχουμε
$$K_1+U_1=K_2+U_2$$
$$\frac12Iω^2+Mg\frac{\ell}{2}+mg\left(\ell-r\right)=Mg\left(\ell-\frac{\ell}{2}\mathsf{ημ\,} θ\right)+mg\left(\ell-r\mathsf{\,ημ\,}θ\right)$$
$$\frac12Iω^2-\frac{Mg\ell}{2}-mgr=-\left(mgr+\frac{Mg\ell}{2}\right)\mathsf{ημ\,}θ$$
$$\mathsf{ημ\,}θ=\frac{\frac{Mg\ell}{2}+mgr-\frac12Iω^2}{mgr+\frac{Mg\ell}{2}}$$
$$\mathsf{ημ\,}θ=0$$
Από την γεωμετρία γνωρίζουμε πως το μήκος τόξου και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία συνδέονται με την εξίσωση
γ) Για να κάνει ανακύκλωση η ράβδος θα πρέπει τουλάχιστον να φτάσει σε κατακόρυφη θέση με γωνιακή ταχύτητα μηδέν δηλαδή
$$\frac12Iω^2+Mg\frac{\ell}{2}+mg\left(\ell-r\right)=Mg\left(\ell+\frac{\ell}{2}\right)+mg\left(\ell+r\right)$$
$$\frac12Iω^2=Mg\ell+2mgr$$
$$ω=\sqrt{\frac{2\left(Mg\ell+2mgr\right)}{I}}$$
Από την (1) όμως η ταχύτητα που πρέπει να έχει η σφαίρα είναι
$$υ_0=\frac{I}{mr}ω$$
Σε συνδυασμό με την τελευταία εξίσωση προκύπτει
$$υ_0=\frac{\sqrt{2I\left(Mg\ell+2mgr\right)}}{mr}$$
με αντικατάσταση προκύπτει
|
$$υ_0=10\sqrt2\ \mathrm{m/s}$$ |
$$(3)$$ |
|
|
|
Τελευταία ανανέωση ( 25.10.19 )
|
