|
Η παρακάτω προσομοίωση μας βοηθά να μελετήσουμε την εξίσωση Bernoulli στα ρευστά. Για τον έλεγχο του σωλήνα ροής μπορούμε να σύρουμε την αρχή και το τέλος της κεντρικής ρευματικής γραμμής. Υπάρχουν δύο μικρές κουκίδες με τις οποίες ελέγχουμε την κλίση και ακτίνα καμπυλότητας στην περιοχή του αρχικού και του τελικού σημείου. Μπορούμε να μεταβάλουμε το αρχικό και το τελικό εμβαδόν του σωλήνα ροής καθώς και την ταχύτητα και την πίεση στο αρχικό σημείο. Με την επιλογή σημεία μπορούμε να εμφανίσουμε ή να αποκρύψουμε ένα πλήθος σωματιδίων. Με την επιλογή σωματίδιο ρευστού σχεδιάζεται μια συγκριμένη ποσότητα ρευστού. Πρέπει να τονιστεί ότι σε κάθε στιγμή σχεδιάζεται ένα σχήμα που διατηρεί σταθερό όγκο και δεν αντιπροσωπεύει το πραγματικό σχήμα που θα είχαν κατά την κίνησή τους ένα πλήθος σωματιδίων ρευστού. Κάνοντας κλικ στο κουμπί ρυθμίσεις μπορούμε να μεταβάλλουμε το πλήθος των σημείων ή και το πλήθος των ρευματικών γραμμών.
Ορισμοί
- Ιδανικό Ρευστό ονομάζεται το ρευστό που δεν παρουσιάζει τριβές με τα τοιχώματα του δοχείου ούτε εσωτερικές τριβές και είναι ασυμπίεστο.
- Αν οι δυνάμεις τριβής υπερβούν κάποιο όριο τότε η ροή λέγεται τυρβώδης ή στροβιλώδης το ρευστό δημιουργεί δίνες.
- Η ροή ενός ιδανικού ρευστού είναι στρωτή, δεν παρουσιάζει στροβίλους. Στην στρωτή ροή (στρωματική ροή) το ρευστό ρέει σε στρώματα (όπως φύλλα χαρτιού που γλυστράνε μεταξύ τους).
- Δυνάμεις συνάφειας ονομάζονται οι δυνάμεις τριβής μεταξύ των τοιχωμάτων και του ρευστού.
- Το σύνολο των θέσεων από τις οποίες περνά κάθε σωματίδιο του ρευστού στην διάρκεια της κίνησής του ορίζει μια γραμμή που την ονομάζουμε ρευματική γραμμή.
- Μια ρευματική γραμμή είναι η τροχιά ενός σωματιδίου ρευστού, και η ταχύτητα του σωματιδίου είναι εφαπτόμενη της ρευματικής γραμμής.
- Δύο ρευματικές γραμμές δεν μπορούν να τέμνονται
- Αν από κάθε σημείο της περιφέρειας μιας επιφάνειας σχεδιάσουμε μια ρευματική γραμμή τότε σχηματίζεται ένος νοητός σωλήνας που ονομάζεται φλέβα.
- Παροχή φλέβας
|
$$Π=\frac{dV}{dt}$$ |
$$(1)$$ |
Από την $(1)$ έχουμε
$$dV=Πdt$$
Όταν η παροχή είναι σταθερή τότε
$$ΔV=ΠΔt$$
Αν η παροχή είναι μεταβλητή τότε ο όγκος υπολογίζεται από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης της παροχής σε συνάρτηση με τον χρόνο.
$$ΔV=\mathsf{'εμβαδόν'}$$
Επίσης από την $(1)$
$$Π=\frac{Adx}{dt}$$
- Για ένα ασυμπίεστο υγρό
$$dm_1=dm_2$$
$$ρdV_1=ρdV_2$$
$$A_1dx_1=A_2dx_2$$
Απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση συνέχειας η οποία εκφράζει την διατήρηση της ύλης.
|
$$A_1υ_1=A_2υ_2$$ |
$$(3)$$ |
Από την εξίσωση συνέχειας προκύπτει πως όταν οι ρευματικές γραμμές πυκνώνουν τότε αυξάνεται η ταχύτητα ροής.$$A_1>A_2 \Leftrightarrow υ_1<υ_2$$
Εξίσωση Bernoulli
Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια φλέβα ενός ιδανικού ρευστού και μια ποσότητα ρευστού (γραμμοσκιασμένη επιφάνεια). Αυτή η ποσότητα ρευστού δέχεται δύο δυνάμεις από το υπόλοιπο ρευστό την $F_1$ και την $F_2$. Καθώς το ρευστό μετατοπίζεται από την κατάσταση $α$ στην κατάσταση $b$ το ενδιάμεσο κομμάτι του ρευστού μένει αμετάβλητο και η παραπάνω μετατόπιση είναι ισοδύναμη μια ποσότητα $dm$ από την περιοχή 1 να βρεθεί στην περιοχή 2.
Η εφαρμογή του θεωρήματος της μεταβολής της κινητικής ενέργειας για όλη την ποσότητα του ρευστού είναι ισοδύναμη με την εφαρμογή του θεωρήματος μόνο για την ποσότητας μάζας $dm$ από την περιοχή 1 στην περιοχή 2.
$$W_\mathsf{ολ}=ΔK$$
$$W_w+W_{F_1}+W_{F_2}=K_b-K_a$$
$$W_w+F_1dx_1-F_2dx_2=\frac12 dmυ_2^2-\frac12 dmυ_1^2$$
$$\left(U_1-U_2\right)+p_1A_1dx_1-p_2A_2dx_2=\frac12 dmυ_2^2-\frac12 dmυ_1^2$$
$$dmgy_1-dmgy_2+p_1dV-p_2dV=\frac12 dmυ_2^2-\frac12 dmυ_1^2$$
όμως $dm=ρdV$
$$ρdVgy_1-ρdVgy_2+p_1dV-p_2dV=\frac12 ρdVυ_2^2-\frac12 ρdVυ_1^2$$
$$ρgy_1-ρgy_2+p_1-p_2=\frac12 ρυ_2^2-\frac12 ρυ_1^2$$
Τελικά προκύπτει η εξίσωση Bernoulli η οποία είναι μια έκφραση της διατήρησης της ενέργειας στα ρευστά.
|
$$p_1+ρgy_1+\frac12 ρυ^2_1=p_2+ρgy_2+\frac12 ρυ^2_2$$Εξίσωση Bernoulli |
$$(4)$$ |
Μερικοί Ορισμοί:
$\frac{K}{dV}=\frac12ρυ^2=\,\, $Κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου
$\frac{U}{dV}=ρgh=\,\, $Δυναμική ενέργεια ανά μονάδα όγκου
Περιπτώσεις
|
|
Αν η διατομή είναι σταθερή τότε η εξίσωση Bernoulli καταλήγει στην βασική εξίσωση της υδροστατικής που ισχύει όταν το ρευστό ισορροπεί.
$$p_1+ρgy_1=p_2+ρgy_2$$
$$p_1=p_2+ρgh$$
|
|
|
Αν $y_2>y_1$ και $υ_2>υ_1$ δηλαδή αν το ρευστό κερδίζει και κινητική ενέργεια αλλά και δυναμική τότε πρέπει να ισχύει $p_1>p_2$ έτσι ώστε το εξωτερικό αίτιο να προσφέρει αυτήν την ενέργεια.
$$p_1+ρgy_1+\frac12ρυ_1^2=p_2+ρgy_2+\frac12ρυ_2^2$$
$$p_1-p_2=\frac12ρ\left(υ_2^2-υ_1^2\right)+ρgh>0$$
|
|
|
Αν $y_2>y_1$ και $υ_2<υ_1$ δηλαδή αν το ρευστό κερδίζει δυναμική ενέργεια αλλά χάνει κινητική τότε μπορεί η πίεση είτε να αυξήθηκε είτε να ελαττώθηκε. Εξαρτάται από το πόσο αυξήθηκε το ένα και κατα πόσο ελαττώθηκε το άλλο.
$$p_1+ρgy_1+\frac12ρυ_1^2=p_2+ρgy_2+\frac12ρυ_2^2$$
$$p_1-p_2=\frac12ρ\left(υ_2^2-υ_1^2\right)+ρgh$$
|
| 
