Seilias

Διατήρηση της ορμής κατά την κρούση

Έστω $\sum \vec F_\mathsf{εξ}$ είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν σε ένα σύστημα για χρονικό διάστημα $Δt$ τότε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα προκύπτει

• Αν $\sum \vec F_\mathsf{εξ}=\vec 0$ τότε ανεξάρτητα από το χρονικό διάστημα θα έχουμε $Δ\vec p_\mathsf{ολ}=\vec 0$ δηλαδή

• Αν $\sum \vec F_\mathsf{εξ}\not=\vec 0$ τότε το δεξιό μέλος της εξίσωσης $(1)$ μπορεί να γίνει ίσο με μηδέν και στην περίπτωση που $Δt=0$. Αν και δεν υπάρχουν φαινόμενα που διαρκούν μηδέν χρόνο υπάρχουν όμως φαινόμενα όπως οι κρούσεις και οι εκρήξεις τα οποία διαρκούν πάρα πολύ λίγο χρόνο ή όπως αλλιώς λέμε $Δt\to 0$. Σε αυτές τις περιπτώσεις ακόμη και αν $\sum \vec F_\mathsf{εξ}\not =\vec 0$ μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $Δ\vec p_\mathsf{ολ}=\vec 0$ δηλαδή ότι η ορμή του συστήματος διατηρείται. ΌΜΩΣ για να ισχυριστούμε κάτι τέτοιο θα πρέπει η $\sum \vec F_\mathsf{εξ}$ να μην τείνει στο άπειρο να έχει δηλαδή πεπερασμένο όριο γιατί διαφορετικά θα έχουμε απροσδιοριστία $\left(\infty\cdot 0 \right)$. Στην πράξη η συνισταμένη δύναμη απειρίζεται σε πάρα πολύ μικρό χρονικό διάστημα όταν έχουμε κρούση με ένα αντικείμενο το οποίο το θεωρούμε ότι παραμένει συνεχώς ακίνητο κατά την διάρκεια της κρούσης πχ τοίχος, έδαφος κλπ.
  Συμπέρασμα: Ακόμη και αν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων δεν είναι μηδέν μπορούμε να θεωρήσουμε σε μια κρούση ή μια έκρηξη ότι η ορμή διατηρείται αρκεί να μην μετέχει αντικείμενο που να το θεωρήσουμε μονίμως ακίνητο όπως τοίχος ή έδαφος.

  Αν $Δt\to 0$ και $\sum \vec F_\mathsf{εξ}\not = \infty $ τότε

  $$\vec p_\mathsf{ολ}^\mathsf{\ πριν}=\vec p_\mathsf{ολ}^\mathsf{\ μετά}$$

  Παράδειγμα: Εκτοξεύουμε ένα σώμα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα $\vec υ_0$ κατά την άνοδο του σώματος δεν ισχύει η διατήρηση της ορμής γιατί ενεργεί το βάρος του σώματος $\vec w$ η οποία είναι εξωτερική δύναμη. Αν τώρα σε κάποιο σημείο της διαδρομής πχ στο ανώτερο σημείο γίνει μια έκρηξη ενώ εξακολουθεί να ενεργεί το βάρος (εξωτερική δύναμη) μπορούμε να εφαρμόσουμε την διατήρηση της ορμής για τις στιγμές ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά $\left(Δt\to 0\right)$ την κρούση διότι η συνισταμένη είναι σταθερή δύναμη οπότε υπάρχει το όριο της παράστασης $\sum \vec F_\mathsf{εξ}Δt$ όταν $Δt\to 0$ και είναι μηδέν $\left(\sum \vec F_\mathsf{εξ}Δt\to \vec 0\right)$.

Ορισμοί

Κεντρική (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες.

Πλάγια ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις.

Η ενέργεια στις κρούσεις

Επειδή η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα τα σώματα δεν προλαβαίνουν να αλλάξουν θέσεις έτσι κατά την διάρκεια του φαινομένου της κρούσης δεν συμβαίνουν αλλαγές στη δυναμική ενέργεια του συστήματος, δηλαδή η δυναμική ενέργεια του συστήματος πριν και μετά την κρούση είναι η ίδια. Αλλαγή μπορούμε να έχουμε μόνο στην κινητική ενέργεια.

Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η μηχανική ενέργεια του συστήματος. Επειδή όμως η δυναμική ενέργεια δεν μεταβάλλεται μπορούμε να πούμε πως ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια.

Ανελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής ενέργειας κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμική.

Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι η πλαστική κρούση κατά την οποία τα σώματα μετά την κρούση κινούνται σαν ένα σώμα. Έχουν δηλαδή κοινή ταχύτητα.

Κεντρική Ελαστική Κρούση

Ας υποθέσουμε ότι δύο σφαίρες με μάζες $m_1$ και $m_2$ κινούνται με ταχύτητες $υ_1$ και $υ_2$ και συγκρούονται μετωπικά και ελαστικά τότε από την διατήρηση της ορμής

Α) Αν τα σώματα έχουν ίσες μάζες $m_1=m_2$ τότε από τις $(6)$ και $(7)$ προκύπτουν οι σχέσεις

Πλάγια Κρούση

Την παραπάνω σχέση είτε την αναλύουμε σε συνιστώσες είτε λύνουμε το πρόβλημα με βάση το σχήμα χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων ανάλογα με το πρόβλημα.

Ας θεωρήσουμε δύο σώματα με ίσες μάζες $m_1=m_2=m$ και το δεύτερο σώμα να είναι ακίνητο όπως φαίνεται στο σχήμα.

Στην περίπτωση αυτή είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε το σχήμα για την επίλυση του προβλήματος. Από τον νόμο των συνημιτόνων προκύπτει