Seilias

Physics and Photography

Τα Δημοφιλέστερα του Μήνα

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Δύο πράγματα είναι άπειρα. Το σύμπαν και η ανθρώπινη βλακεία, και ως προς το πρώτο έχω κάποιες αμφιβολίες.

A. Einstein

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Ταλαντώσεις και Κύματα arrow Εξαναγκασμένη Ταλάντωση - HTML5
Σεπ
03
2018
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(14 ψήφοι)
Με την προσομοίωση αυτή μπορείς να μελετήσεις την εξαναγκασμένη ταλάντωση. Για να μεταβάλεις την κυκλική συχνότητα του διεγέρτη (ω) και την κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος (ω0), μπορείς να σύρεις τις αντίστοιχες διακεκομένες γραμμές. Μεταβάλλοντας την κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος στην ουσία μεταβάλλεις την σταθερά k του ελατηρίου μια και η μάζα του σώματος είναι σταθερή και ίση με 1kg. Έχεις την δυνατότητα να αποκρύψεις - εμφανίσεις την απομάκρυνση, το πλάτος, την ταχύτητα του σώματος, την δύναμη του διεγέρτη, την ισχύ του διεγέρτη καθώς και την μηχανική ενέργεια του συστήματος (xωρίς να λάβουμε υπόψιν την βαρύτητα) δηλαδή Ε=½kx2+½mυ2.

Κατεβάστε την εφαρμογή για λειτουργία σε τοπικό επίπεδο χωρίς να απαιτείται σύνδεση στο Internet.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα μάζας $m$ είναι δεμένο σε ένα οριζόντιο ελατήριο σταθεράς $k$. Oνομάζουμε ιδιοσυχνότητα  την συχνότητα της ταλάντωσης που θα έκανε το σώμα αν δεν ενεργούσε καμία άλλη δύναμη εκτός της δύναμης του ελατηρίου. Δηλαδή

$$f_0=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

και γωνιακή ιδιοσυχνότητα

$$ω_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Αν υπάρχουν δυνάμεις τριβής $F_\mathsf{αντ}=-bυ$ τότε η ταλάντωση είναι φθίνουσα και μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το σώμα θα σταματήσει. Αν θέλουμε το σώμα να κάνει αμείωτη ταλάντωση θα πρέπει να του δίνουμε ενέργεια που να αναπληρώνει την ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμική λόγω τριβών. Ένας τρόπος για να δίνεται στο σώμα ενέργεια και να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι να ενεργεί στο σώμα μια περιοδική δύναμη της μορφής

$$F=F_0\mathsf{\,ημ\,}ωt$$

Η δύναμη αυτή ονομάζεται διεγείρουσα δύναμη και το σώμα που ασκεί την δύναμη διεγέρτης. Όπου $ω$ η γωνιακή συχνότητα του διεγέρτη. Η κίνηση του σώματος τελικά θα είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα ίση με αυτήν του διεγέρτη.

 

$$x=A\mathsf{\,ημ}(ωt+θ)$$

$$(1)$$

με πλάτος ταλάντωσης

  $$A=\frac {F_0}{\sqrt{(k-mω^2)^2+(bω)^2}}$$

Δηλαδή το σώμα θα αναγκαστεί να εκτελέσει ταλάντωση με συχνότητα που του επιβάλλεται από το διεγέρτη και όχι με τη δική του ιδιοσυχνότητα και με πλάτος που εξαρτάται και από την συχνότητα του διεγέρτη αλλά και από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.
Όταν το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο, τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό του πλάτους της ταλάντωσης ή απλά συντονισμό. Η συχνότητα για την οποία μεγιστοποιείται το πλάτος της ταλάντωσης είναι λίγο μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος. (όταν  $f=f_0$ τότε μεγιστοποιείται το πλάτος της ταχύτητας).

 

$$\mathsf{Συντονισμός} ⇔ A=\mathrm{max}\ ,\ f≃f_0$$

$$(2)$$

Όσο μεγαλώνει η σταθερά απόσβεσης $b$ τόσο μεγαλώνει και η διαφορά μεταξύ της συχνότητας που έχουμε μέγιστο πλάτος  $f_\mathsf{συντονισμού}$ και της ιδιοσυχνότητας  $f_0$. Επειδή η διαφορά των δύο συχνοτήτων είναι μικρή για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης, δεν θα γίνεται διάκριση μεταξύ των δύο εκτός και αναφέρεται ρητά. Δηλαδή συντονισμό θα θεωρούμε ότι συμβαίνει όταν η ιδιοσυχνότητα του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Για πολύ μικρές τιμές της  $f$ το σώμα και ο διεγέρτης ταλαντώνονται σε φάση με πολύ μικρές ταχύτητες (έτσι επίσης η τριβή είναι πολύ μικρή) στην ουσία του ελατήριο δεν είναι παραμορφωμένο. Το άκρο (στο οποίο ενεργεί ο διεγέρτης) και το σώμα ταλαντώνονται περίπου όπως θα ταλαντωνόταν αν ανάμεσά τους υπήρχε μια άκαμπτη ράβδος. Έτσι το πλάτος της ταλάντωσης θα είναι $A=F_0/k$

Για μεγάλες τιμές της $f$ το σώμα και ο διεγέρτης ταλαντώνονται με αντίθεση φάσης, έτσι η μία μετατόπιση σχεδόν αναιρεί την άλλη οπότε το σώμα ταλαντώνεται με πολύ μικρό πλάτος.

Παρατήρηση

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σώμα θα καταλήξει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με

$$x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$$ $$υ=ωΑ\,\mathsf{συν}(ωt+θ)$$ $$α=-ω^2A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$$ $$α=-ω^2x$$

Αν $m$ είναι η μάζα του σώματος που κάνει ταλάντωση τότε

$$\sum F=ma$$ $$\sum F=m(-ω^2x)$$ $$\sum F=-(mω^2)x$$

Αν το γινόμενο $mω^2$ το συμβολίσουμε με $D$ τότε

$$\sum F=-Dx$$

Αν το σώμα είναι δεμένο σε ένα οριζόντιο ελατήριο σταθεράς $k$ η εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο είναι

$$F_\mathsf{ελ}+F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{δ}=-Dx$$ $$-kx+F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{δ}=-Dx$$ $$-mω_0^2+F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{δ}=-mω^2x$$ $$F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{δ}=mω_0^2-mω^2x$$

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σώμα θα καταλήξει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση όμως η σταθερά ταλάντωσης $D$ και η σταθερά του ελατηρίου $k$ γενικά δεν ταυτίζονται και αυτό γιατί

$$k=mω_0^2$$

ενώ

$$D=mω^2$$

Ταυτίζονται μόνο στην περίπτωση του συντονισμού.

Άμεση συνέπεια των παραπάνω είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος ελατήριο-σώμα $E_\mathsf{μηχ}=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mυ^2$ και η ενέργεια ταλάντωσης $E_\mathsf{T}=\frac{1}{2}Dx^2+\frac{1}{2}mυ^2$ να είναι διαφορετικές και να ταυτίζονται μόνο στον συντονισμό. Η ενέργεια ταλάντωσης παραμένει σταθερή κατά την διάρκεια ταλάντωσης ενώ η μηχανική ενέργεια μεταβάλλεται γιατί στιγμιαία η ενέργεια που προσφέρει ο διεγέρτης δεν είναι ίση με τον ρυθμό απώλειας ενέργειας λόγω τριβών.

Λίγο πιο πάνω αποδείξαμε πως

$$F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{διεγέρτη}=mω_0^2x-mω^2x$$

Στον συντονισμό επειδή η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος έχουμε

$$F_\mathsf{διεγέρτη}+F_\mathsf{αντ}=0$$ $$F_\mathsf{διεγέρτη}-bυ=0$$ $$F_\mathsf{διεγέρτη}=bυ$$

Η Ισχύς του διεγέρτη θα είναι

$$P=F_\mathsf{διεγέρτη}υ$$ $$P=bυ^2$$

Απο την τελευταία εξίσωση προκύπτει πως κατά τον συντονισμό ο διεγέρτης πάντα προσφέρει ενέργεια στο σύστημα (ισχύς θετική) δηλαδή ο τρόπος που προσφέρεται η ενέργεια είναι ο βέλτιστος, ενώ σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση υπάρχουν στιγμές που ο διεγέρτης έχεις αντίθετη φορά με την ταχύτητα και αφαιρεί ενέργεια από το σύστημα.


Σχόλιο απο τον Θοδωρή Παπασγουρίδη

Μεταφέρω το σχόλιο στο κείμενο μια και ο χώρος των σχολίων δεν είναι κατάλληλος για γραφή εξισώσεων. Έχω βάλει κάποιες παραπομπές με απάντηση. Με χαρά θα δημοσιεύσω οποιαδήποτε απάντηση από οποιονδήποτε.

Κατ' αρχήν θα ήθελα να σας συγχαρώ για τις άψογες προσομοιώσεις και παράλληλα να σας ευχαριστήσω για τη βοήθεια που μας προσφέρετε να "οπτικοποιήσουμε" κινήσεις όπως η φθίνουσα και η εξαναγκασμένη ταλάντωση αλλά και φαινόμενα όπως η σύνθεση.Παράλληλα για λόγους αρχής θα ήθελα να διατυπώσω τη διαφωνία μου στον χαρακτηρισμό της συγκεκριμένης κίνησης ως ΑΑΤ. Η εξαναγκασμένη αρμονική ικανοποιεί τα κινηματικά χαρακτηριστικά μιας αρμονικής κίνησης(1), αλλά από τη στιγμή που δεν ασκούνται μόνο χωροεξαρτώμενες συντηρητικές δυνάμεις, η κίνηση αυτή δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ΑΑΤ(2). Διαφωνώ επίσης με τη διαφοροποίηση των σταθερών $D$ και $k$. Εκτιμώ πως η δύναμη επαναφοράς $F_\mathsf{επ}$ στην πιο πάνω κίνηση είναι η συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων βάρους και δύναμης ελατηρίου(3) και σε κάθε θέση δίνεται από τη σχέση $F_\mathsf{επαν}=-kx$(4) , κάτι που οδηγεί σε ταύτιση των $D,k$(5). Στη δύναμη αυτή, αποδίδεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης(6) $U=\frac{1}{2}Dx^2=\frac{1}{2}kx^2$, η μέγιστη τιμή της οποίας $U_\mathrm{max}=\frac{1}{2}kA^2$ (7) διαφέρει από τη μέγιστη τιμή της κινητικής $K_\mathrm{max}=\frac{1}{2}mω^2Α^2$, στη γενική περίπτωση που το σύστημα δεν βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού. Στη δύναμη αυτή, αποδίδεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης $U=\frac{1}{2}Dx^2=\frac{1}{2}kx^2$, η μέγιστη τιμή της οποίας $U_\mathrm{max}=\frac{1}{2}kA^2$ διαφέρει από τη μέγιστη τιμή της κινητικής $K_\mathrm{max}=\frac12 mω^2A^2$ , στη γενική περίπτωση που το σύστημα δεν βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, οπότε η σταθερά $k$ διαφέρει από το γινόμενο $mω^2$ (8). Να διατυπώσω τη διαφωνία μου πιο απλά: Η χρήση του όρου $D=mω^2$ εκτιμώ πως δεν είναι επιτυχής(9). Σας ευχαριστώ για το βήμα.

Απάντηση

(1) Συμφωνώ απόλυτα
(2) Αφού η έννοια ΑΑΤ είναι γεωμετρικό χαρακτηριστικό γιατί εμπλέκεις δυνάμεις; Επίσης αν δεν είναι αυτός ο ορισμός της ΑΑΤ τότε ποιος θεωρείς ότι είναι;
(3) Από που προκύπτει ότι ως δύναμη επαναφοράς ονομάζουμε την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη όλων των δυνάμεων;(σχ. βιβλίο σελ. 11: Η δύναμη $\sum {F} $ ονομάζεται δύναμη επαναφοράς...)
(4) Άρα ταυτίζεις την δύναμη του ελατηρίου (αν αφαιρέσουμε την βαρύτητα για λόγους απλότητας) με την δύναμη επαναφοράς.
(5) Διαφωνώ. Η Διαφοροποίηση των σταθερών οδηγεί και στην διαφοροποίηση τως Ζεγών (Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης, Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου) καθώς και (Ενέργεια Ταλάντωσης, Μηχανική Ενέργεια).
(6) Δυναμική ενέργεια ελατηρίου: Ναι, Δυναμική Ενέργεια ταλάντωσης: Όχι
(7) Θεωρείς ότι δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και δυναμική ενέργεια ελατηρίου είναι το ίδιο. Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης$=\frac12 mω^2x^2$, Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου=$\frac{1}{2}kx^2$. Μέγιστη Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης = Μέγιστη Κινητική ενέργεια, Μέγιστη Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου$\ne$Μέγιστη Κινητική Ενέργεια.
(8) Συμφωνώ $k\ne mω^2$
(9) Αυτός είναι ο ορισμός του $D$, Όταν ένα σώμα μάζας $m$ κάνει ΑΑΤ με γωνιακή συχνότητα $ω$ συμβολίζουμε με $D$ το γινόμενο $mω^2$ (σχ. βιβλίο σελ. 11).

$$\frac12 kx^2=\frac12 mω_0^2x^2\ne \mathsf{Δυναμική\ Ενέργεια\ Ταλάντωσης}$$ $$\frac12 Dx^2=\frac12 mω^2x^2=\mathsf{Δυναμική\ Ενέργεια\ Ταλάντωσης}$$

Σχόλιο-2- απο τον Θοδωρή Παπασγουρίδη

Μεταφέρω το σχόλιο στο κείμενο.

"Θα προσπαθήσω να τοποθετηθώ κατά το δυνατόν συντομότερα και στοχευμένα Ρωτάς: «Για ποιο λόγο να ορίσουμε ως δύναμη επαναφοράς την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη δύναμη; Στην εξαναγκασμένη η συνισταμένη $\sum F =F_\mathsf{επ}+F_\mathsf{αντ}+F_\mathsf{δ}$ έχει φορά προς τη ΘΙ, αφού $\sum F=ma=m(-ω^2x)$, όμως δεν ονομάζεται «δύναμη επαναφοράς».

Διαφωνώ (Σχολικό βιβλίο σελ.11). Η $\sum F $ ονομάζεται δύναμη επαναφοράς (αν και δεν επηρεάζει καθόλου την πορεία της συζήτησης)

Δύναμη επαναφοράς ονομάζεται η πεδιακή συνιστώσα της, η $F_\mathsf{ελ}$ αν πρόκειται για οριζόντιο ταλαντωτή, ή η συνισταμένη βάρους και $F_\mathsf{ελ}$ αν πρόκειται για κατακόρυφο, με αλγεβρική τιμή $F_\mathsf{επ}=-kx$ Γιατί; Διότι η δύναμη επαναφοράς είναι μία χωροεξαρτώμενη δύναμη, της οποίας η τιμή εξαρτάται μόνο από τη θέση. Αν λοιπόν κάποιο αίτιο, ακινητοποιήσει τον ταλαντωτή σε ορισμένη θέση, η πεδιακή συνιστώσα της $\sum F$ θα συνεχίσει να έχει την ίδια τιμή, ενώ η $\sum F$ όχι, αφού η δύναμη αντίστασης θα μηδενισθεί.

Ποιος το λέει αυτό; Σε ποιο σημείο ορίζεται με αυτόν τον τρόπο η δύναμη επαναφοράς;(αν και το τι ονομάζουμε δύναμη επαναφοράς μικρή σημασία έχει)

Η δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να συνδέεται με την κινητική κατάσταση, άρα ούτε με τη δύναμη αντίστασης, η οποία είναι συνιστώσα της συνισταμένης. Έτσι η δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να συνδέεται με τη συνισταμένη δύναμη. Δυναμική ενέργεια είναι η $U=\frac12 kx^2=\frac12 mω_0^2x^2$ αλλά όχι η $U=\frac12mω^2x^2$, η οποία κατά τη γνώμη μου, απλά δεν είναι ενέργεια.

Συμφωνούμε ΑΠΟΛΥΤΑ εκτός του ότι έχεις το ίδιο σύμβολο $U$ για δύο διαφορετικά πράγματα. $U=\frac12 kx^2=\frac12 mω_0^2x^2$ και $U_Τ=\frac12 Dx^2=\frac12 mω^2x^2$. (Προσοχή στις επόμενες λέξεις)

Εξάλλου, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε μια θέση $x$, είναι ίση με το έργο των συντηρητικών συνιστωσών της $\sum F$, από τη θέση $x$ ως τη θέση $x=0$ και όχι με το έργο της ίδιας της $\sum F$ από τη θέση $x$ ως τη θέση $x=0$

Τώρα μου τα χαλάς. Aυτό που τώρα αναφέρεις ως δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ελάχιστα πριν το χαρακτήριζες ως δυναμική ενέργεια. Αυτές οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές ενώ τις χρησιμοποιείς χωρίς να τις διακρίνεις. Ισχύει $W_{\mathsf {Συντηρητικών\ Δυναμένων}}=-ΔU$ αλλά και $W_{\sum F}=-ΔU_Τ$

Στο κατακόρυφο ελατήριο, η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι $U=\frac12 kx^2$, όπου $x$ η απομάκρυνση από τη θέση $x=0$ και όχι η παραμόρφωση του ελατηρίου και προφανώς η δυναμική ενέργεια αλάντωσης διαφέρει από τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

Συμφωνoύμε αν αφαιρέσεις την λέξη "ταλάντωσης", αλλά ας μη μπλέξουμε και την δυναμική ενέργεια βαρύτητας. Αν και στο κατακόρυφο ελατήριο εξακολουθεί να ισχύει $U_Τ=\mathsf{Δυναμική\ ενέργεια\ ταλάντωσης} = \frac12 mω^2x^2$, $U=\mathsf{Δυναμική\ ενέργεια}=\frac12 k {Δ\ell}^2+mgh$

Η κινητική ενέργεια στη θέση $x=0$, είναι ίση με το έργο της συνισταμένης $\sum F$ από την ακραία θέση ως τη θέση $x=0$ (Συμφωνώ) και είναι ίση με $K_\mathrm{max}=\frac12 mω^2A^2$ (Συμφωνώ). Προφανώς δεν ισούται με το έργο των συντηρητικών συνιστωσών της $\sum F$, που δίνουν την $U_\mathrm{max}=\frac12 kA^2$ (Συμφωνώ. Αν όμως έγραφες δυναμική ενέργεια ταλάντωσης θα διαφωνούσα). Σε ευχαριστώ και εγώ για την ανταλλαγή απόψεων.

Συμπληρώνω ... η $K_\mathrm{max}=\frac12 mω^2A^2$ ισούται με την μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης $U_{Τ,\mathrm{max}}=\frac12 mω^2A^2$.

Στην προσομοίωση αν επιλέξεις ρυθμίσεις και από εκεί ενέργεια φαίνεται η μηχανική ενέργεια του συστήματος $$E_\mathsf{μηχ}=K+U=\frac12mυ^2+\frac12 kx^2\ne \mathsf{σταθ.}$$

Αν δεν διαφοροποιήσουμε τις έννοιες Ενέργεια ταλάντωσης και Μηχανική ενέργεια ή Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης και Δυναμική ενέργεια δουλειά δεν γίνεται. Μπορεί η Ενέργεια ταλάντωσης και η Μηχανική ενέργεια να έχουν την ίδια σχέση που έχουν και τα "SUNY" και "SONY" δηλαδή η ενέργεια ταλάντωσης να είναι μια fake ενέργεια αλλά έτσι την βαφτίσαμε.


Με αφορμή το σχόλιο του Θοδωρή Παπασγουρίδη

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή η έννοια ΑΑΤ είναι γεωμετρικό χαρακτηριστικό της κίνησης και όχι δυναμικό. Σύμφωνα με τον ορισμό του βιβλίου (σχ. βιβλίο σελ. 10) μια κίνηση "ονομάζεται" ΑΑΤ όταν $x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$. Είναι ο ορισμός του βιβλίου και νομίζω ότι δεν υπάρχει λόγος να τον διαφοροποιήσουμε ειδικά αν ο νέος ορισμός δεν έχει να προσφέρει κάτι ουσιώδες. Αν διαφωνείς με τον όρο μπορείς στην θέση του να βάλεις πχ εξαναγκασμένη ταλάντωση τα υπόλοιπα δεν θα αλλάξουν. Σε κάθε περίπτωση ονομασίας της κίνησης θα ισχύει (μετά την πάροδο κάποιου χρόνου για τα μεταβατικά φαινόμενα) $$x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$$

οπου $ω$ η γωνιακή συχνότητα του διεγέρτη. Άμεσο αποτέλεσμα αυτού

$$υ=ωA\,\mathsf{συν}(ωt+θ)$$

και

$$α=-ω^2A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)=-ω^2x$$

Από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα

$$\sum {F = ma} $$ $$\sum {F = -mω^2x} $$

Ας θεωρήσουμε πως το ελατήριο είναι οριζόντιο ή πως δεν έχουμε βαρύτητα. Τότε

$$F_\mathsf{ελ}+F_\mathsf{δ}+F'=-mω^2x$$ $$-kx+F_\mathsf{δ}+F'=-mω^2x$$

Η σταθερά $k$ είναι γνωστή και δεν επιδέχεται αμφιβολία για το τι είναι. Την γνωρίζαμε και πριν από τις ταλαντώσεις. Είναι η σταθερά που χαρακτηρίζει το ελατήριο. Όταν δεν υπάρχουν τριβές και διεγέρτης και έχουμε μόνο το ελατήριο τότε

$$k=mω_0^2$$

Μέχρι εδώ νομίζω ότι συμφωνούμε. Από δω και πέρα διαφωνούμε. Είναι προφανές πως άλλο πράγμα το γινόμενο $mω^2$ και άλλο πράγμα η σταθερά $k=mω_0^2$. Γιατί θεωρείς πως ο συμβολισμός $D=mω^2$ δεν επιτυχής; Αλλά ας υποθέσουμε πως ο παραπάνω συμβολισμός είναι κακός τότε μπορούμε το γινόμενο $mω^2$ να το συμβολίσουμε με όποιο άλλο σύμβολο επιθυμείς όχι όμως με το $k$. Γιατί αν $D=k$ τότε το $\frac{1}{2}Dx^2$ δεν θα είναι η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης αλλά η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και το $-Dx$ δεν είναι η συνισταμένη δύναμη αλλά η δύναμη του ελατηρίου κλπ. Για ποιο λόγο να ορίσουμε ως δύναμη επαναφοράς την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη δύναμη;

Αν δεν διαχωριστούν τα σύμβολα $D$ και $k$ έχουμε πρόβλημα γιατί άλλα εννοεί ο ένας και άλλα εννοεί ο άλλος. Γιατί να μην κρατήσουμε τους συμβολισμούς του βιβλίου σύμφωνα με το οποίο για ένα σώμα μάζας $m$ που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, $x=A\,\mathsf{ημ}(ωt+θ)$, γωνιακής συχνότητας $ω$ η σταθερά $D$ ορίζεται ως $mω^2$ και η συνισταμένη δύναμη ονομάζεται δύναμη επαναφοράς.

Αν $D=mω^2$ και $k=mω_0^2$ δηλαδή όταν $D\ne k$ τότε
$$D=mω^2$$ $$k=mω_0^2$$
$$\sum F=-Dx$$ $$F_\mathsf{ελ}=-kx$$
$$U_Τ=\frac{1}{2}Dx^2$$

Δυναμική Ενέργεια Ταλάντωσης

$$U_\mathsf{ελ}=\frac{1}{2}kx^2$$

Δυναμική Ενέργεια Ελατηρίου

$$E_Τ=K+U_Τ=\mathsf{σταθ.}$$

Ενέργεια Ταλάντωσης

$$E_\mathsf{μηχ}=K+U_\mathsf{ελ}\ne \mathsf{σταθ.}$$

Μηχανική Ενέργεια

$$K_\mathrm{max}=U_{Τ,\mathrm{max}}$$ $$K_\mathrm{max}\ne U_{\mathsf{ελ},\mathrm{max}}$$

Σε πείθει η πρόταση η "μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι διαφορετική από την μέγιστη κινητική ενέργεια";Αν ήταν πρόταση σωστού λάθους πως θα την χαρακτήριζες;

Αν διαχωρίσουμε τα σύμβολα $D$ και $k$ τότε όλες οι διαφωνίες εξαφανίζονται.

Στο πρόβλημα ένα σώμα μάζας $m=2\ \mathrm{kg}$ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με $x=3\,\mathsf{ημ}\,5t$. Να βρεθεί η σταθερά ταλάντωσης τι απάντηση δίνεις; Η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με την μέγιστη κινητική ενέργεια ή όχι; Θεωρείς πως ένα τέτοιο πρόβλημα είναι λανθασμένο;

Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 
seilias   |94.68.121.xxx |03-Feb-2021 04:49:58
Θοδωρή καλημέρα,

Δεν με απασχολεί ιδιαίτερα τι ονομάζουμε δύναμη επαναφοράς, ας την ονομάζουμε και δύναμη επιστροφής, δεν
επηρεάζει καθόλου μα καθόλου την συνέχεια. Το βιβλίο έχει προβλήματα αλλά όχι σε αυτό το σημείο.

Ελπίζω να μην ξεκινάς με: Fεπ=-Dx,
ΣF=Fεπ+Fαν+Fδ<=>ΣF=-Dx+Fαντ+Fδ. Σε έναν τέτοιο συμβολισμό το K+1/2Dx^2 δεν είναι σταθερό. Αν χρησιμοποιείς τον παραπάνω συμβολισμό τότε το 1/2Dx^2
ΔΕΝ είναι η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης αλλά η δυναμική ενέργεια γιατί το D=mω_0^2. Σε μια τέτοια περίπτωση παραποιείς τα σύμβολά
γιατί η ΣF δεν θα είναι -Dx. Δεν χρησιμοποιώ στα λεγόμενά μου αυτό τον συμβολιμό.

Εγώ χρησιμοποιώ Fεπ=-kx, ΣF=Fεπ+Fαν+Fδ<=>ΣF=-kx+Fαντ+Fδ,
D=mω^ 2
και Ενέργεια ταλάντωσης E=1/Dx^2+K. Ένας τέτοιος συμβολισμός είναι σύμφωνος και με το βιβλίο. χωρίς να υπάρχει σύγχιση μεταξύ των D και
k.

Ισχυρίζομαι πως:

1)Άλλο πράγμα "Μηχανική Ενέργεια" άλλο πράγμα "Ενέργεια Ταλάντωσης".
2) Άλλο "Δυναμική ενέργεια"
και άλλο "Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης".
3) Άλλο D=mω^2 και άλλο k=mω_0^2
4) Άλλο "Δυναμική Ενέργεια ταλάντωσης" = 1/2Dx^2 άλλο
δυναμική ενέργεια U=1/2kx^2 (ή αν το ελατήριο δεν είναι οριζόντιο και υπάρχουν και άλλες μορφές πχ U=1/2kΔl^2+mgh+kQq/r+...)
5) Το άρθοισμα Κ+1/2mω^2x^2
παραμένει σταθερό μας αρέσει δεν μας αρέσει αρκεί x=Aημωt. Είτε την πούμε ΑΑΤ είτε όχι, είτε είναι ελευθερη χωρίς τριβές είτε
εξαναγκασμένη. Δεν έχει καμία σημασία τι θα πουμε δύναμη επαναφοράς. Το άθροισμα αυτό είναι σταθερό και το είπαμε ενέργεια
ταλάντωσης.
6) Το άθροισμα Κ+U που είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος ΔΕΝ παραμένει σταθερό γιατί υπάρχουν μη συντηρητικές
δυνάμεις το έργο των οποίων είναι ίσο με την μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος

Αν x=Aημωt μπορεί κάποιος να μου
αποδείξει ότι η παράσταση K+1/2Dx^2 (όπου D=mω^2) μεταβάλλεται?

Γιατί τόσο μίσος με την "Ενέργεια Ταλάντωσης";
Παπασγουρίδης Θοδωρής  - Εξαναγκασμένη αρμονική   |85.74.246.xxx |02-Feb-2021 23:47:21
Ηλία καλησπέρα και πάλι, η διαφορετική προσέγγιση είναι φανερό πως ξεκινά από το γεγονός ότι, εσύ αμφισβητείς το:
"Διότι η δύναμη
επαναφοράς είναι μία χωροεξαρτώμενη δύναμη, της οποίας η
τιμή εξαρτάται μόνο από τη θέση."
ενώ εγώ στηρίζομαι σε αυτό, το οποίο
είναι αποδεκτό από πολλούς συναδέλφους τους οποίους γνωρίζεις από το ylikonet
Εν κατακλείδι, ένα προβληματικό σχολικό βιβλίο,
γραμμένο 20 χρόνια πριν, δεν μπορεί να μας δεσμεύει για πάντα...σε μία προβληματική μελέτη της φθίνουσας, της εξαναγκασμένης και της
σύνθεσης
Προφανώς αυτό είναι η δική μου θέση, με την οποία δεν οφείλεις να συμφωνείς
Να είσαι καλά
seilias   |94.68.121.xxx |02-Feb-2021 10:04:52
Η συνέχεια στο κείμενο
Παπασγουρίδης Θοδωρής  - Εξαναγκασμένη αρμονική   |85.74.246.xxx |02-Feb-2021 00:45:54
-Η δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να συνδέεται με την κινητική κατάσταση, άρα ούτε με τη δύναμη αντίστασης, η οποία είναι συνιστώσα
της συνισταμένης. Έτσι η δυναμική ενέργεια δεν μπορεί να συνδέεται με τη συνισταμένη δύναμη. Δυναμική ενέργεια είναι η U=1/2 kxx
=1/2(mωoωo)xx αλλά όχι η U=1/2mωωxx, η οποία κατά τη γνώμη μου, απλά δεν είναι ενέργεια
Εξάλλου, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε μια
θέση χ, είναι ίση με το έργο των συντηρητικών συνιστωσών της ΣF, από τη θέση x ως τη θέση x=0 και όχι με το έργο της ίδιας της ΣF από τη
θέση x ως τη θέση x=0
-Στο κατακόρυφο ελατήριο, η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι U=1/2 kxx, όπου χ η απομάκρυνση από τη θέση χ=0 και όχι
η παραμόρφωση του ελατηρίου και προφανώς η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης διαφέρει από τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου

κινητική ενέργεια στη θέση χ=0, είναι ίση με το έργο της συνισταμένης ΣF από την ακραία θέση ως τη θέση χ=0 και είναι ίση με Kmax=1/2 mωωAA .
Προφανώς δεν ισούται με το έργο των συντηρητικών συνιστωσών της ΣF, που δίνουν την Umax=1/2kAA
Σε ευχαριστώ και εγώ για την ανταλλαγή
απόψεων
Παπασγουρίδης Θοδωρής  - Εξαναγκασμένη αρμονική   |85.74.246.xxx |02-Feb-2021 00:40:36
Ηλία σε ευχαριστώ για την άμεση απάντηση.
Θα προσπαθήσω να τοποθετηθώ κατά το δυνατόν συντομότερα και στοχευμένα
Ρωτάς: «Για ποιο
λόγο να ορίσουμε ως δύναμη επαναφοράς την συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων και όχι την συνισταμένη δύναμη;»
-Στην
εξαναγκασμένη η συνισταμένη ΣF=Fεπ+Fαντ+Fδ έχει φορά προς τη ΘΙ, αφού ΣF=ma=m(-ωωx),
όμως δεν ονομάζεται «δύναμη επαναφοράς». Δύναμη
επαναφοράς ονομάζεται η πεδιακή συνιστώσα της, η Fελ αν πρόκειται για οριζόντιο ταλαντωτή, ή η συνισταμένη βάρους και Fελ αν
πρόκειται για κατακόρυφο, με αλγεβρική τιμή Fεπ=-kx
Γιατί; Διότι η δύναμη επαναφοράς είναι μία χωροεξαρτώμενη δύναμη, της οποίας η
τιμή εξαρτάται μόνο από τη θέση. Αν λοιπόν κάποιο αίτιο, ακινητοποιήσει τον ταλαντωτή σε ορισμένη θέση, η πεδιακή συνιστώσα της ΣF
θα συνεχίσει να έχει την ίδια τιμή, ενώ η ΣF όχι, αφού η δύναμη αντίστασης θα μηδενισθεί
Συνεχίζω
seilias   |94.68.121.xxx |01-Feb-2021 20:58:26
Καλησπέρα Θοδωρή, επειδή ο χώρος των σχολίων δεν είναι ο καλύτερος για εξισώσεις μετέφερα το σχόλιο σου και την απάντση μου στο
κείμενο. Ευχαριστώ για τό σχόλιο σου είναι μια αφορμή για συζήτηση.
Παπασγουρίδης Θοδωρής  - Εξαναγκασμένη αρμονική   |85.74.246.xxx |31-Jan-2021 20:21:33
Κατ' αρχήν θα ήθελα να σας συγχαρώ για τις άψογες προσομοιώσεις και παράλληλα να σας ευχαριστήσω για τη βοήθεια που μας προσφέρετε
να "οπτικοποιήσουμε" κινήσεις όπως η φθίνουσα και η εξαναγκασμένη ταλάντωση αλλά και φαινόμενα όπως η σύνθεση.
Παράλληλα για
λόγους αρχής θα ήθελα να διατυπώσω τη διαφωνία μου στον χαρακτηρισμό της συγκεκριμένης κίνησης ως ΑΑΤ.
Η εξαναγκασμένη αρμονική
ικανοποιεί τα κινηματικά χαρακτηριστικά μιας αρμονικής κίνησης, αλλά από τη στιγμή που δεν ασκούνται μόνο χωροεξαρτώμενες
συντηρητικές δυνάμεις, η κίνηση αυτή δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ΑΑΤ
Διαφωνώ επίσης με τη διαφοροποίηση των σταθερών D και k. Εκτιμώ
πως η δύναμη επαναφοράς Fεπ στην πιο πάνω κίνηση είναι η συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων βάρους και δύναμης ελατηρίου και σε
κάθε θέση δίνεται από τη σχέση Fεπαν=-kx ,
κάτι που οδηγεί σε ταύτιση των D,k. Στη δύναμη αυτή, αποδίδεται η δυναμική ενέργεια της
ταλάντωσης U=1/2Dxx=1/2kxx, η μέγιστη τιμή της οποίας Umax=1/2kAA διαφέρει από τη μέγιστη τιμή της κινητικής Kmax=1/2mωωΑΑ, στη γενική περίπτωση που
το σύστημα δεν βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού, οπότε η σταθερά k διαφέρει από το γινόμενο mωω. Να διατυπώσω τη διαφωνία μου πιο
απλά: Η χρήση του όρου D=mωω εκτιμώ πως δεν είναι σωστή
Σας ευχαριστώ για το βήμα
Παπασγουρίδης Θοδωρής  - Εξαναγκασμένη αρμονική   |85.74.246.xxx |31-Jan-2021 20:25:42
Επειδή κόπηκε το σχόλιο, συνεχίζω εδώ.....

Στη δύναμη αυτή, αποδίδεται η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης U=1/2Dxx=1/2kxx, η μέγιστη τιμή
της οποίας Umax=1/2kAA διαφέρει από τη μέγιστη τιμή της κινητικής Kmax=1/2mωωΑΑ, στη γενική περίπτωση που το σύστημα δεν βρίσκεται σε
κατάσταση συντονισμού, οπότε η σταθερά k διαφέρει από το γινόμενο mωω. Να διατυπώσω τη διαφωνία μου πιο απλά: Η χρήση του όρου D=mωω
εκτιμώ πως δεν είναι επιτυχής
Σας ευχαριστώ για το βήμα

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 03.02.21 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ηλεκτρομαγνητισμός

 
Joomla Templates by Joomlashack