Για σχόλια, παρατηρήσεις, διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη
διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από
όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα
αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
Σύνδεση
Με δυο λόγια
Δύο πράγματα είναι άπειρα. Το σύμπαν και η ανθρώπινη βλακεία, και ως προς το πρώτο έχω κάποιες αμφιβολίες.
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις το φαινόμενο της φθίνουσας ταλάντωσης. Έχεις την δυνατότητα να μεταβάλεις μια σειρά από παραμέτρους όπως την σταθερά απόσβεσης b, την μάζα και την κυκλική ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Μπορείς να σύρεις το σώμα για να καθορίσεις την αρχική του απομάκρυνση καθώς και την μαύρη κουκίδα στον άξονα των χρόνων για να καθορίσεις την χρονική στιγμή. Επιλέγοντας μέτρηση εμφανίζονται δύο κατακόρυφες γραμμές τις οποίες μπορείς να τις μετακινήσεις για να μετρήσεις ένα χρονικό διάστημα. Πιέζοντας το πλήκτρο αντίγραφο παίρνεις ένα αντίγραφο της γραφικής παράστασης για σύγκριση με κάποιο άλλο σε μια άλλη χρονική στιγμή.
Κατεβάστε την εφαρμογή για λειτουργία σε τοπικό επίπεδο χωρίς να απαιτείται σύνδεση στο Internet.
Φθίνουσα Ταλάντωση
Όταν το πλάτος μιας ταλάντωσης παραμένει σταθερό τότε η ταλάντωση χαρακτηρίζεται αμείωτη και αυτό συμβαίνει όταν δεν υπάρχουν τριβές. Όταν υπάρχουν τριβές τότε το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται μέχρι τελικά να μηδενιστεί.
Ιδιαίτερη σημασία έχει όταν στην κίνηση υπάρχει δύναμη τριβής αντίθετη της ταχύτητας δηλαδή της μορφής
$$F_\mathsf{αντ}=-bυ$$
Όπου $b$ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από το μέσο που γίνεται η ταλάντωση, το σχήμα και το μέγεθος του σώματος.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σώμα μάζας $m$ δεμένο σε ένα ελατήριο σταθεράς $k$. Στο σώμα ασκείται δύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητας. Σε μια τέτοια περίπτωση συμβολίζουμε με $ω_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ και ονομάζομαι γωνιακή ιδιοσυχνότητα την γωνιακή συχνότητα που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχαν τριβές.
Η εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο σύμφωνα με τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα είναι
$$F_\mathsf{ελ}+F_\mathsf{αντ}=ma,$$
$$-kx-bυ=ma$$
$$(1)$$
Αν
$$ ω_0\gt \frac{b}{2m}$$
τότε από την εξίσωση (1) προκύπτει ότι η απομάκρυνση του σώματατος σε κάθε χρονική στιγμή δίνεται από την εξίσωση
$$x=A_0e^{-Λt}\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_0)$$
$$(2)$$
όπου
$$ω=\sqrt{ω_0^2-Λ^2}$$
$$(3)$$
και $Λ=\frac{b}{2m}$. Αν στην εξίσωση (2) θέσουμε
$$A=A_0e^{-Λt}$$
$$(4)$$
τότε αυτή γράφεται
$$x=A\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_0)$$
δηλαδή «μοιάζει» με την εξίσωση αρμονικής ταλάντωσης με γωνιακή συχνότητα $ω$ και πλάτους $A$.
Η κίνηση είναι μεν ταλάντωση αλλά όχι απλή αρμονική ταλάντωση διότι το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται εκθετικά με το χρόνο.
Ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται το πλάτος εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης και από τη μάζα του σώματος.
Από την εξίσωση (3) παρατηρούμε πως $ω<ω_0$ ή $T>T_0$ δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την ιδιοπερίοδο (η περίοδο που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχαν τριβές). Όμως για μικρές τιμές της σταθεράς απόσβεσης (πιο σωστά όταν $ω_0>>Λ$), δηλαδή αν υπάρχουν μικρές τριβές τότε $ω≃ω_0$. Έτσι η περίοδος της ταλάντωσης στη φθίνουσα ταλάντωση είναι περίπου ίδια με την ιδιοπερίοδο της ταλάντωσης. Για μικρές τιμές του $b$ το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται με αργό ρυθμό και απαιτείται μεγάλο χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί.
Για μεγαλύτερες τιμές της $b$ το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πολύ γρήγορα και υπάρχει μεγάλη διαφορά στις τιμές $ω$ και $ω_0$.
Αν το $Λ$ ξεπεράσει την τιμή $ω_0$ τότε δεν ισχύει η εξίσωση (1) και η απομάκρυνση $x$ δεν είναι «περιοδική».
Έστω τις χρονικές στιγμές $0, T, 2T, \dots$ το πλάτος της ταλάντωσης είναι $A_0, A_1, A_2,\dots$ τότε
Στην φθίνουσα ταλάντωση δεν υφίσταται σταθερά ταλάντωσης $D$. Αν και μπορούμε να ορίσουμε ως $D=mω^2$ η συνισταμένη δύναμη ΔΕΝ μπορεί να γραφεί $F=-Dx$
Η σχέση (5) έχει προκύψει για χρονικές στιγμές $T, 2T, 3T, \dots$ ισχύει όμως για χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά σταθερό χρονικό διάστημα $τ$ και όχι κατ΄ ανάγκη για μια περίοδο. Η σχέση (5) είναι αποτέλεσμα της εκθετικής μεταβολής του πλάτους και όχι του ημιτόνου.
Από την ίδια εξίσωση προκύπτει πως οι όροι $A_0, A_1, A_2, \dots$(που αντιστοιχούν γενικά στο πλάτος για τις χρονικές στιγμές $0, τ, 2τ, \dots$) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου δηλαδή ο κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό μου με πολλαπλασιασμό με τον ίδιο αριθμό.
Ιδιαίτερη σημασία έχει η περίπτωση όπου μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται στο μισό. Ο χρόνος αυτό ονομάζεται χρόνος ημισείας ζωής.
Αν τη χρονική στιγμή $t=0$ είναι $υ=0$ και $x=x_0$ τότε $x_0\neq A_0$, δηλαδή το $A_0$ δεν είναι η αρχική θέση που βρίσκεται το σώμα όταν η ταχύτητά του είναι μηδέν. Για πολύ μικρές τιμές της παραμέτρου $Λ$ έχουμε $A_0≃x_0$
Για να βρούμε την μηχανική ενέργεια σε κάποια χρονική στιγμή θα πρέπει να προσθέσουμε την κινητική και την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου $E_\mathsf{μηχ}=\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mυ^2$. Το άθροισμα αυτό (επειδή η ενέργεια δεν διατηρείται) δεν είναι ίσο με την ενέργεια που υπολογίζεται από την παράσταση $E=\frac{1}{2}DA^2$. Το να γράφουμε $E_\mathsf{μηχ}=E=\frac{1}{2}DA^2$ είναι προσεγγιστικά σωστό και μόνο στην περίπτωση που η σταθερά τις απόσβεσης είναι πάρα πολύ μικρή.
Ο ρυθμός με τον οποίο η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική λόγω των δυνάμεων τριβής είναι ίσος με την ισχύ της τριβής δηλαδή
$$\frac{dE_\mathsf{μηχ}}{dt}=F_\mathsf{αντ}υ$$
$$\frac{dE_\mathsf{μηχ}}{dt}=-bυ^2$$
$$(6)$$
Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει πως όταν η ταχύτητα γίνεται μέγιστη μεγιστοποιείται και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας ενώ όταν η ταχύτητα πλησιάζει να γίνει μηδέν έχουμε και μικρό ρυθμό μεταβολή της ενέργειας. Δηλαδή κοντά στην θέση ισορροπίας έχουμε απώλεια μηχανικής ενέργεια με μεγάλο ρυθμό ενώ στις ακραίες θέσεις έχουμε απώλεια μηχανικής ενέργειας με μικρό ρυθμό.
Στην θέση $x=0$ πλέον το σώμα δέχεται δύναμη και δεν έχει μέγιστη ταχύτητα. Η ταχύτητα μεγιστοποιείται στήν θέση όπου $-kx-bυ=0$
Φυσική - HTML5 
