|
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις το φαινόμενο του διακροτήματος. Έχεις την δυνατότητα να μεταβάλεις την συχνότητα της μιας ταλάντωσης και την συχνότητα του διακροτήματος καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης (ήχου). Έχεις την δυνατότητα να σύρεις την κατακόρυφη γραμμή που αντιπροσωπεύει την χρονική στιγμή. Αν επιλέξεις να ακούγεται ο ήχος τότε δεν έχεις την δυνατότητα να τρέξεις πιο αργά την προσομοίωση παρά μόνο σε πραγματικό χρόνο. Προκειμένου να είναι δυνατός ο συγχρονισμός στην αναπαραγωγή του ήχου και της ταλάντωσης ενός σημείου σε εύκολα αντιληπτό χρονικό διάστημα οι κυματομορφές σχεδιάζονται με συχνότητα 100 φορές μικρότερη από την αναγραφόμενη. Έτσι αν επιλεγούν συχνότητες f1=300 Hz και fδ=0.2 Hz οπότε και f2=300.2 Ηz τότε ο μεν αναπαραγόμενος ήχος θα είναι συχνότητας 300.1 Hz, αλλά οι απεικονιζόμενες κυματομορφές έχουν συχνότητες 3 Ηz (100 φορές μικρότερη) και 3.2 Ηz.
Β. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιου πλάτους με συχνότητες που διαφέρουν "λίγο" μεταξύ τους
Διακρότημα προκύπτει από την σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων των οποίων οι συχνότητες διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους. Έτσι
$$x_1=A\mathsf{\,ημ\,}ω_1t,$$
$$x_2=A\mathsf{\,ημ\,}ω_2t$$
Το αποτέλεσμα της σύνθεσης θα είναι
$$x=x_1+x_2$$
$$x=A(\mathsf{\,ημ\,}ω_1t+\mathsf{\,ημ\,}ω_2t)$$
Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι $\mathsf{\,ημ\,}A+\mathsf{\,ημ\,}B=2\mathsf{\,ημ\,}\frac{A+B}{2}\mathsf{\,συν\,}\frac{A-B}{2}$ οπότε
|
$$x=\left(2A\mathsf{\,συν\,}\frac{ω_1-ω_1}{2}t\right)\mathsf{\,ημ\,}\frac{ω_1+ω_2}{2}t$$ |
$(1)$ |
ή
$$x=A'\mathsf{\,ημ\,}\frac{ω_1+ω_2}{2}t$$
Η
ταλάντωση που περιγράφεται από την παραπάνω εξίσωση ΔΕΝ είναι απλή αρμονική ταλάντωση, γιατί το πλάτος $|A'|$ είναι συνάρτηση του χρόνου και μεταβάλλεται "αργά" όταν οι συχνότητες διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους. Η ταλάντωση του σώματος σε αυτήν την περίπτωση ονομάζεται διακρότημα και ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγίστων) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος. Για να υπολογίσουμε την περίοδο του διακροτήματος εργαζόμαστε ως εξής
Γνωρίζουμε από τα μαθηματικά ότι η συνάρτηση $f(t)=\mathsf{\,συν\,}at$ έχει περίοδο $T=\frac{2π}{|a|}$ και ο χρόνος μεταξύ δύο μηδενισμών της συνάρτησης είναι $\frac{T}{2}$. Οπότε
$$T_\mathsf{δ}=\frac{2π}{2|\frac{ω_1-ω_2}{2}|}$$
$$T_\mathsf{δ}=\frac{2π}{|ω_1-ω_2|}$$
$$T_\mathsf{δ}=\frac{2π}{2π|f_1-f_2|}$$
|
$$T_\mathsf{δ}=\frac{1}{|f_1-f_2|}$$ |
$$(2)$$ |
και η συχνότητα του διακροτήματος θα είναι
|
$$f_\mathsf{δ}=|f_1-f_2|$$ |
$$(3)$$ |
Το πλήθος τον μηδενισμών του πλάτους (αριθμός διακροτημάτων) μέσα σε ένα χρονικό διάστημα $t$ βρίσκεται από την εξίσωση
$$N_\mathsf{δ}=f_\mathsf{δ}t$$
Ενώ το πλήθος των ταλαντώσεων σε χρονικό διάστημα $t$ από την εξίσωση
$$N=ft$$
$$N=\frac{f_1+f_2}{2}t$$ |
Φυσική - HTML5 
