Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση
Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

In Theory, Theory and Practice are the Same but In Practice They’re Different.

A. Einstein
 
Ιούλ
23
2018
Απλή Αρμονική Ταλάντωση - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(58 ψήφοι)
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορείς να μελετήσεις το φαινόμενο της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Έχεις την δυνατότητα να μεταβάλεις μια σειρά από παραμέτρους όπως το πλάτος της ταλάντωσης, την αρχική φάση, την γωνιακή συχνότητα και την περίοδο της ταλάντωσης. Έχεις την δυνατότητα να εμφανίσεις τα διαγράμματα θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης - χρόνου τσεκάροντας τις αντίστοιχες επιλογές. Μπορείς να σύρεις το σώμα για να καθορίσεις το πλάτος της ταλάντωσης καθώς και την μαύρη κουκίδα στον άξονα των χρόνων για να καθορίσεις την χρονική στιγμή. Επιλέγοντας μέτρηση εμφανίζονται δύο κατακόρυφες γραμμές τις οποίες μπορείς να τις μετακινήσεις για να μετρήσεις ένα χρονικό διάστημα. Πιέζοντας το πλήκτρο αντίγραφο παίρνεις ένα αντίγραφο των γραφικών παραστάσεων για σύγκριση σε μια άλλη χρονική στιγμή.

Γεωμετρική Προσέγγιση

Δυναμική Προσέγγιση

Κατεβάστε την εφαρμογή για λειτουργία σε τοπικό επίπεδο χωρίς να απαιτείται σύνδεση στο Internet.

Γεωμετρική Προσέγγιση

Όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τότε η απομάκρυνση του (δηλαδή η θέση του σώματος αν το σύστημα αναφοράς έχει σαν αρχή την θέση ισορροπίας του σώματος) δίνεται από την εξίσωση

 

$$x=A\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_0)$$

$$(1)$$

Η παράμετρος $A$ είναι θετικός αριθμός ($A>0$) και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης. Από την εξίσωση της απομάκρυνσης επειδή $|\mathsf{ημ}(ωt+φ_0)| \le 1$ προκύπτει πως

$$|x|\le A$$ $$-A\le x \le A$$

Οι θέσεις $x=+A$ και $x=-A$ ονομάζονται ακραίες θέσεις της ταλάντωσης.

Η παράμετρος $ω$ είναι επίσης θετικός αριθμός ($ω>0$) και ονομάζεται γωνιακή συχνότητα ή κυκλική συχνότητα.

Η παράσταση $ωt+φ_0$ ονομάζεται φάση. Η παράμετρος $φ_0$ ονομάζεται αρχική φάση και παίρνει τιμές μεταξύ $0$ και $2π$

$$0\le φ_0 < 2\pi$$

Από την εξίσωση κίνησης μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα του σώματος

$$υ=\frac{dx}{dt}$$

 

$$υ=ωA\mathsf{\,συν}(ωt+φ_0)$$

$$(2)$$

Η ταχύτητα του σώματος είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης του διαγράμματος απομάκρυνσης - χρόνου. Γίνεται μέγιστη στη θέση ισορροπίας ($x=0$) και μηδέν στις ακραίες θέσεις ($x=+A$ ή $x=-A$)

 

 $$\mathsf{Στην\ θέση\ ισορροπίας:\ }|υ|=υ_\mathrm{max}=ωA$$ $$\mathsf{Στις\ ακραίες\ θέσεις:\ }υ=0$$  

Η επιτάχυνση του σώματος είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης στο διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου.

$$a=\frac{dυ}{dt}$$

 

$$a=-ω^2A\mathsf{\,ημ}(ωt+φ_0)$$

$$(3)$$

Συνδυάζοντας την $(1)$ και την $(3)$ προκύπτει

 

 $$a=-ω^2x$$

$$(4)$$

Από την εξίσωση αυτή προκύπτει πως η απομάκρυνση και η επιτάχυνση έχουν πάντοτε αντίθετες κατευθύνσεις. Η επιτάχυνση μηδενίζεται στη θέση ισορροπίας και γίνεται μέγιστη στις ακραίες θέσεις.

 

 $$\mathsf{Στην\ θέση\ ισορροπίας:\ }a=0$$ $$\mathsf{Στις\ ακραίες\ θέσεις:\ }|a|=a_\mathrm{max}=ω^2A$$  

Από την $(1)$ έχουμε

$$\left(\frac{x}{A}\right)^2=\mathsf{ημ}^2(ωt+φ_0)$$

Ενώ από την $(2)$

$$\left(\frac{υ}{ωA}\right)^2=\mathsf{συν}^2(ωt+φ_0)$$

Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω εξισώσεων προκύπτει

$$\left(\frac{x}{A}\right)^2+\left(\frac{υ}{ωA}\right)^2=1$$

(Η εξίσωση αυτή σε ένα διάγραμμα ταχύτητας – θέσης παριστάνει μια έλλειψη.)

απ' όπου μετά από πράξεις προκύπτει

 

 $$v=\pm ω\sqrt{A^2-x^2}$$

$$(5)$$

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι στη διάρκεια μιας περιόδου από την ίδια θέση το σώμα περνά δύο φορές με αντίθετες ταχύτητες. Επίσης για θέσεις συμμετρικές ως προς την θέση ισορροπίας $x, -x$ η ταχύτητα έχει ίσο μέτρο.

Παρατηρήσεις

Η ταλάντωση δεν είναι κίνηση με σταθερή ταχύτητα. Έτσι, αν π.χ. απαιτείται χρόνος $3\ \rm s$ για να μεταβεί το σώμα από την θέση ισορροπίας του στην ακραία θέση (άρα η περίοδος είναι $T=12\ \rm s$), τότε ο χρόνος που απαιτείται για πάει το σώμα από την θέση ισορροπίας του στο $\frac{A}{2}$ είναι μόλις $1\ \rm s$ και όχι $1.5\ \rm s$ (χρόνος που θα χρειαζόταν για να το διανύσει αν η κίνηση ήταν ομαλή). Επίσης απαιτείται διπλάσιος χρόνος ($2\ \rm s$) για να καλύψει τα υπόλοιπα $\frac{A}{2}$ μέχρι την ακραία θέση.

 

 $$\mathsf{από}\ x=0\ \mathsf{στο}\ x=+A \Leftrightarrow t=\frac{T}{4}$$ $$\mathsf{από}\ x=0\ \mathsf{στο}\ x=+\frac{A}{2} \Leftrightarrow t=\frac{T}{12}$$

 

Δυναμική Προσέγγιση

Από τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα έχουμε

$$F_\mathsf{ολ}=ma$$ Όμως γνωρίζουμε ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση δίνεται από την εξίσωση $$a=-ω^2x$$

Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει

$$F_\mathsf{ολ}=m(-ω^2x)$$ $$F_\mathsf{ολ}=-mω^2x$$

Το γινόμενο $mω^2$ είναι σταθερό (ανεξάρτητο του $x,υ,a,t$) κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης και συμβολίζεται με $D$ και ονομάζεται σταθερά επαναφοράς. (Κάθε φορά που θα λέμε ότι ένα μέγεθος παραμένει σταθερό θα αναρωτιόμαστε «όταν αλλάζει τι;»)

 

 $$D=mω^2$$

$$(1)$$

Έτσι όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής

 

 $$F_\mathsf{ολ}=-Dx$$

$$(2)$$

F-x

Με μαθηματικά μπορεί να αποδειχθεί και το αντίστροφο, δηλαδή αν σε ένα σώμα ενεργεί δύναμη της μορφής $F_\mathsf{ολ}=-Dx$ τότε το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με ταλάντωση (με την προϋπόθεση πως και η αρχική ταχύτητα έχει την ίδια διεύθυνση με την δύναμη) με

 

 $$ω=\sqrt {\frac{D}{m}},$$ $$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}$$

$$(3)$$

Από τις παραπάνω εξισώσεις παρατηρούμε πως η γωνιακή συχνότητα και η περίοδος είναι ανεξάρτητες από το πλάτος της ταλάντωσης.

Να θυμηθούμε πως η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν σε ένα σώμα είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος έτσι

$$F=\frac{dp}{dt}$$

Λίγα λόγια για την σταθερά ταλάντωσης :

Βλέποντας κανείς την εξίσωση

$$D=mω^2$$

η πρώτη σκέψη είναι πως η σταθερά ταλάντωσης $D$ είναι ανάλογη της μάζας τους σώματος και ανάλογη του τετραγώνου της γωνιακής συχνότητας. Αυτό στην γενική περίπτωση είναι λανθασμένο. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις

1) Αν η ταλάντωσή μας είναι εξαναγκασμένη τότε η συχνότητα επιβάλλεται από τον διεγέρτη και η σταθερά $D$ είναι ανάλογη της μάζας του σώματος.

2) Οταν όμως η ταλάντωση δεν είναι εξαναγκασμένη, τότε η σταθερά ταλάντωσης δεν είναι ανάλογη της μάζας του σώματος αλλά η μάζα του σώματος μαζί με την σταθερά της ταλάντωσης $D$ αναγκάζουν το σώμα να εκτελέσει ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα

$$ω=\sqrt{\frac{D}{m}}$$

Τέτοια παραδείγματα έχουμε συναντήσει και σε προηγούμενες τάξεις (όπως $E=\frac{F}{q},\ C=\frac{q}{V},\ R=\frac{V}{I}$) όπου δηλαδή αν και έχουμε ένα μέγεθος να οριζεται με κάποια άλλα τελικά να μην εξαρτάται απ΄ αυτά.

Η σταθερά ταλάντωσης $D$ λέγεται σταθερά, γιατί δεν εξαρτάται από τον χρόνο (οπότε ούτε και από μεγέθη που εξαρτώνται από τον χρόνο όπως $x,υ,a$) και δεν εξαρτάται επίσης ούτε από το πλάτος της ταλάντωσης. Η σταθερά ταλάντωσης έχει σχέση με την μορφή της δύναμης και συνήθως δεν εξαρτάται ούτε από την μάζα του σώματος (Υπάρχει η περίπτωση του εκκρεμούς όπου η σταθερά της ταλάντωσης εξαρτάται από την μάζα.)

Στα προβλήματά μας η πιο συνηθισμένη περίπτωση ταλαντώσεων είναι ένα σώμα δεμένο σε ένα ελατήριο μέσα σε πεδίο βαρύτητας χωρίς τριβές. Σε αυτές τις περιπτώσεις η σταθερά ταλάντωσης $D$ είναι ίση με την σταθερά του ελατηρίου η οποία είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος που είναι δεμένο στο ελατήριο.

Ενέργεια στην Ταλάντωση

Η έννοια της δυναμικής ενέργειας έχει σχέση μόνο όταν οι δυνάμεις που ενεργούν είναι συντηρητικές. Η εξίσωση ορισμού της δυναμικής ενέργειας είναι

 

 $$W_\mathrm{A\to B}=U_\mathrm{A}-U_\mathrm{B}$$

$$(1)$$

Στην περίπτωση των αρμονικών ταλαντώσεων η δύναμη είναι της μορφής $F=-Dx$ και είναι συντηρητική. Το έργο της υπολογίζεται από το «εμβαδό» του σχήματος που περικλείεται από την αρχική θέση  την τελική θέση  του άξονα της θέσης  και του διαγράμματος της δύναμης σε συνάρτηση με τη θέση.

$$W_{x_1\to x_2}=\frac{F_1+F_2}{2}\left(x_2-x_1\right)$$ $$W_{x_1\to x_2}=\frac{-Dx_1-Dx_2}{2}\left(x_2-x_1\right)$$ $$W_{x_1\to x_2}=-\frac12 D(x_1+x_2)\left(x_2-x_1\right)$$ $$W_{x_1\to x_2}=\frac12 Dx_1^2 - \frac12 Dx_2^2$$

Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει πως η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης είναι

 

$$U=\frac12 Dx^2$$

$$(2)$$

Η κινητική ενέργεια θα δίνεται από την εξίσωση

 

$$K=\frac12 mυ^2$$

(3)

Το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ονομάζεται ενέργεια ταλάντωσης και είναι

$$E=K+U$$ $$E=\frac12 mυ^2 + \frac12 Dx^2$$

Αν υποθέσουμε πως έχουμε μια απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση τότε $x=A\mathsf{\,ημ\,}ωt$ και $υ=ωA\mathsf{\,συν\,}ωt$

$$E = \frac{1}{2}\underbrace {m{\omega ^2}}_D{A^2}\mathsf{\,συν^2}ωt+\frac12 DA^2\mathsf{\,ημ^2}ωt$$ $$E = \frac{1}{2}DA^2\left(\mathsf{\,συν^2}ωt+\mathsf{\,ημ^2}ωt\right)$$

 

$$E=\frac12 DA^2$$

$$(4)$$

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής

$$E=\frac12 mω^2A^2$$

 

$$E=\frac12 mυ_\mathrm{max}^2$$

$$(5)$$

Δηλαδή η ενέργεια ταλάντωσης για ένα σώμα που κάνει απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ίση είτε με την μέγιστη δυναμική είτε με την μέγιστη κινητική.

$$E=\frac12 DA^2=\frac12 mυ_\mathrm{max}^2$$

Η δυναμική και η κινητική ενέργεια σαν συνάρτηση της ενέργειας ταλάντωσης γράφονται

$$U=\frac12 Dx^2$$ $$U=\frac12 DA^2\mathsf{\,ημ^2}ωt$$

 

$$U=E\mathsf{\,ημ^2}ωt$$

$$(6)$$

Η κινητική ενέργεια γίνεται

$$K=\frac12 mυ^2$$ $$K=\frac12 υ^2_\mathrm{max}\mathsf{\,συν^2}ωt$$

 

$$K=E\mathsf{\,συν^2}ωt$$

(7)

 

Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς 

$$\mathsf{ημ}^2x=\frac{1-\mathsf{\,συν\,}2x}{2}$$ $$\mathsf{συν}^2x=\frac{1+\mathsf{\,συν\,}2x}{2}$$

Οι εξισώσεις (6) , (7) γίνονται

$$U=\frac{E}{2}-\frac{E}{2}\mathsf{\,συν\,}2ωt$$ $$K=\frac{E}{2}+\frac{E}{2}\mathsf{\,συν\,}2ωt$$

Οι παραπάνω συναρτήσεις είναι περιοδικές με περίοδο

$$T'=\frac{2\pi}{2\omega}$$

Δηλαδή η ενέργεια έχει την μισή περίοδο από την περίοδο της ταλάντωσης.

 

$$T'=\frac{T}{2}$$

 (8)

Για να κάνουμε την γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας κάνουμε τη γραφική παράσταση πρώτα της $\frac{E}{2}\mathsf{\,συν\,}2ωt$ και στη συνέχεια τη μετατοπίζουμε στον κατακόρυφο άξονα κατά $\frac{E}{2}$

EnergyGraph

Ρυθμός Ενέργειας

  • Γενικά ρυθμός μεταβολής ενέργειας ισοδυναμεί με ισχύς. Αρχικά ο ρυθμός μεταβολής του έργου μιας δύναμης είναι ο ορισμός της ισχύς μιας δύναμης. Έτσι
$$P_F=\frac{dW_F}{dt}$$ $$P_F=\frac{F_xdx}{dt}$$ $$P_F=F_xυ$$

Όπου $F_x$ η συνιστώσα της δύναμης στη διεύθυνση της ταχύτητας. Αν η δύναμη και η ταχύτητα έχουν την ίδια διεύθυνση (όχι υποχρεωτικά και ίδια κατεύθυνση), τότε

 

$$P_F=Fυ$$

 $$(9)$$

Όταν η ισχύς της δύναμης είναι θετική τότε προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω του έργου της δύναμης. Ενώ, αν η ισχύς είναι αρνητική, τότε αφαιρείται ενέργεια από το σώμα.

  • Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώματος  (λόγω μεταφορικής κίνησης) υπολογίζεται από την ισχύ της συνισταμένης δύναμης και αυτό γιατί, αν υποθέσουμε ότι σε ένα μικρό χρονικό διάστημα $dt$ το έργο της δύναμης είναι $dW$ και η κινητική ενέργεια του σώματος έχει μεταβληθεί κατά $dK$ τότε από το θεώρημα της κινητικής ενέργειας θα έχουμε
$$dK=dW_\mathsf{ολ}$$ $$\frac{dK}{dt}=\frac{dW_\mathsf{ολ}}{dt}$$

 

$$\frac{dK}{dt}=P_{F_\mathsf{ολ}}$$

$$(10)$$

Στην περίπτωση της αρμονικής ταλάντωσης επειδή η δύναμη και η ταχύτητα έχουν την ίδια διεύθυνση θα ισχύει

 

$$\frac{dK}{dt}=F_\mathsf{ολ}υ$$

  

Στην περίπτωση των απλών αρμονικών ταλαντώσεων (όχι φθίνουσας) επειδή $F_\mathsf{ολ}=-Dx$ έχουμε

 

$$\frac{dK}{dt}=-Dxυ$$

$$(11)$$

Για τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας έχουμε

$$W_\mathrm{A\to B}=U_\mathrm{A}-U_\mathrm{B}$$ $$W_\mathrm{A\to B}=-ΔU$$

για μια μικρή μεταβολή τότε το στοιχειώδες έργο της συντηρητικής δύναμης  είναι

$$dW_F=-dU$$ $$\frac{dU}{dt}=-\frac{dW_F}{dt} \Leftrightarrow \frac{dU}{dt}=-Fυ$$

δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι το αντίθετο του ρυθμού μεταβολής του έργου της συντηρητικής δύναμης που σχετίζεται με την δυναμική ενέργεια.

 

$$\frac{dU}{dt}=Dxυ$$

$$(12)$$

Παρατηρούμε πως ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι αντίθετος με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Το τελευταίο το περιμέναμε γιατί στην απλή αρμονική ταλάντωση διατηρείται η ενέργεια. Έχουμε

$$E=K+U$$ $$0=\frac{dK}{dt}+\frac{dU}{dt}$$

 

$$\frac{dK}{dt}=-\frac{dU}{dt}$$

$$(13)$$

Στις ακραίες θέσεις, επειδή η ταχύτητα μηδενίζεται, θα μηδενίζεται και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας άρα και της δυναμικής.

 

Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 
neloy  - About Animations   |202.134.13.xxx |27-Aug-2018 07:31:26
Pls also upload swf format of the latest animation. Sometime HTML5 is problematic to run quickly in some device. So I expect swf.

Thanks Ahead.
Απάντηση
9 0

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."
Τελευταία ανανέωση ( 25.07.22 )
 
Επόμ. >
[ Πίσω ]

© by Σιτσανλής Ηλίας , Φυσικός

1o Γενικό Λύκειο Αλεξανδρούπολης

 
Joomla Templates by Joomlashack