Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

 Τι ύψος πρέπει να έχει ένας καθρέφτης για να φανούμε ολόκληροι;


Ακριβώς το μισό μας ύψος. Δηλαδή αν το ύψος μας είναι 1.80m  τότε ένας καθρέφτης των 0.90m (90 πόντους) είναι αρκετός για να μας δείξει ολόκληρους, αρκεί να τοποθετηθεί σωστά. Θα πρέπει το πάνω μέρος του να είναι στο ύψος του μετώπου μας.

Δείτε την προσομοίωση κάνοντας κλικ εδώ

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Μηχανική arrow Κίνηση Τροχού σε Κεκλιμένο Επίπεδο - HTML5
Μάι
06
2010
Κίνηση Τροχού σε Κεκλιμένο Επίπεδο - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(15 ψήφοι)
Με την προσομοίωση αυτή μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός τροχού σε κεκλιμένο (ή και σε οριζόντιο αν επιλέξουμε θ=0) με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης, του Βάρους του τροχού και της Τριβής. Ανάλογα με τις συνθήκες η κίνηση του τροχού μπορεί να είναι κύλιση η ολίσθηση. Μπορούμε να σύρουμε τον τροχό σε διάφορες θέσεις πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Την γωνία του κεκλιμένου επιπέδου μπορούμε να την αλλάξουμε είτε από το μενού είτε αν σύρουμε την πάνω πλευρά του. Την θέση του συστήματος μπορούμε να την αλλάξουμε σύροντας το δάπεδο. Αν επιλέξουμε ρυθμίσεις έχουμε την δυνατότητα να μεταβάλλουμε την μάζα του σώματος και τις συνιστώσες της δύναμης Fx και Fy. Μπορούμε να σύρουμε τα παραπάνω διανύσματα για να αλλάξουμε το σημείο εφαρμογής της δύναμης.

Το πρόβλημα μας είναι να μελετήσουμε την κίνηση ενός τροχού πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο έτσι οι δυνάμεις που ενεργούν είναι το βάρος η τριβή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου.

Το πρώτο ερώτημα είναι: Ποια είναι η κατεύθυνση της τριβής;

Το συνηθισμένο λάθος είναι πως βλέπουμε τον τροχό να κινείται με ταχύτητα $\vec v_\mathrm{cm}$ και θεωρούμε πως η τριβή είναι αντίθετη της ταχύτητας αυτής. Η τριβή δεν έχει σχέση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας αλλά με την ταχύτητα του σημείου που βρίσκεται σε επαφή με το έδαφος. Το έδαφος δεν γνωρίζει προς τα που κινείται ο τροχός αλλά αντιλαβάνεται μόνο το σημείο που βρίσκεται σε επαφή. Για τον σκοπό το πρώτο που εξετάζουμε είναι
1. Αν το κατώτερο σημείο έχει ταχύτητα (τότε ο τροχός ολισθαίνει), η τριβή που εμφανίζεται είναι τριβή ολίσθησης και έχει κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του σημείου επαφής $\vec v_Γ$. Η ταχύτητα του σημείου επαφής βρίσκεται από το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας του κέντρου μάζας και της ταχύτητας λόγω περιστροφικής. $\vec v_Γ=\vec v_\mathrm{cm}+\vec v_\mathsf{περ}$
2. Αν το κατώτερο σημείο είναι ακίνητο (τότε ο τροχός κυλίεται) η τριβή που εμφανίζεται είναι στατική τριβή. Η ταχύτηα που ΘΑ αποκτούσε το σώμα θα είναι ίδια με την φορά της επιτάχυνσης του κατώτερου σημείου, έτσι η φορά της στατικής θα τριβής θα είναι αντίθετη αυτής της ταχύτητας δηλαδή αντίθετη της επιτάχυνσης του σημείου επαφής.

Για να βρούμε την φορά της στατικής τριβής ενός τροχού που κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) ακολουθούμε τα εξής βήματα

  • υποθέτουμε πως αρχικά δεν υπάρχει τριβή
  • βρίσκουμε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος (χωρίς να λογαριάσουμε την τριβή)
  • βρίσκουμε την γωνιακή επιτάχυνση και από εκεί την επιτρόχιο επιτάχυνση του σημείου επαφής με το έδαφος  $(a_\mathsf{ε}=a_\mathsf{γων}R)$
  • βρίσκουμε την συνισταμένη επιτάχυνση των $\vec a_\mathrm{cm}$ και $\vec a_\mathsf{ε}$
  • αν αυτή η επιτάχυνση είναι διαφορετική από μηδέν τότε θα εμφανιστεί στατική τριβή με κατεύθυνση αντίθετη της συνισταμένης των επιταχύνσεων $\vec a_\mathrm{cm}$ και $\vec a_\mathsf{ε}$

H παραπάνω μέθοδος είναι γενική ας την εφαρμόσουμε στην περίπτωση κύλισης του τροχού σε κεκλιμένο επιπέδο.

1ος Τρόπος:

Αν δεν υπήρχε η τριβή τότε η συνισταμένη δύναμη θα ήταν η $\vec w_x$ άρα η επιτάχυνση του κέντρου βάρους θα ήταν προς τα κάτω. Γωνική επιτάχυνση δεν έχουμε γιατί η ροπή του βάρους και της κάθετης αντίδρασης είναι μηδέν. Οπότε το κατώτερο σημείο θα αποκτούσε επιτάχυνση προς τα κάτω έτσι η στατική τριβή θα ήταν προς τα πάνω δηλαδή αντίθετη της $\vec w_x$. Να σημειωθεί πως στην παραπαπάνω ανάλυση δεν μας απασχολεί αν τροχός κινείται προς τα πάνω ή προς τα κάτω ή είναι αρχικά ακίνητος, σε κάθε περίπτωση η στατική τριβή είναι προς τα πάνω.

2ος Τρόπος:

  • Όταν ο τροχός ανεβαίνει τότε λόγω του βάρους θα κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση άρα η ταχύτητα του κέντρου μάζας θα ελαττώνεται για να κυλίεται θα πρέπει η συνισταμένη ταχύτητα του σημείου επαφής με το έδαφος να είναι μηδέν άρα θα πρέπει να ελαττώνεται και η ταχύτητα λόγω της περιστροφικής κίνησης δηλαδή να ελαττώνεται η γωνιακή ταχύτητα. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει να υπάρχει γωνιακή επιτάχυνση και άρα ροπή δύναμης αντίθετης φοράς της γωνιακής ταχύτητας για να συμβαίνει αυτό πρέπει η να υπάρχει στατική τριβή με φορά προς τα πάνω.
  • Αν ο τροχός είναι αρχικά ακίνητος ή κατεβαίνει τότε θα αυξάνεται η ταχύτητα του κέντρου μάζας άρα θα πρέπει να αυξάνεται και η γωνιακή ταχύτητα για να συμβαίνει αυτό πρέπει πάλι η στατική τριβή να έχει κατεύθυνση προς τα πάνω έτσι ώστε να δημιουργεί γωνιακή επιτάχυνση της ίδιας κατεύθυνσης με την γωνιακή ταχύτητα.

Σε κάθε περίπτωση είτε ανεβαίνει είτε κατεβαίνει είτε είναι αρχικά ακίνητος η κατεύθυνση της στατικής τριβής είναι αντίθετη της $\vec w_x$. (Αρκεί να μην υπάρχει άλλη δύναμη εκτός των $\vec w, \vec N, \vec T_\mathsf{σ}$).

Έστω ότι κάποια στιγμή ο κύλινδρος ανέρχεται με κύλιση σε κεκλιμένο επίπεδο με ταχύτητα $\vec v_0$ και γωνιακή ταχύτητα $\vec ω_0$. Όπως αναφέρθηκε πριν η στατική τριβή θα είναι είναι προς τα πάνω. Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής θα ισχύει

$$\sum {\vec F = m{{\vec a}_\mathrm{cm}}} $$

Επιλέγοντας την θετική φορά προς τα πάνω τότε

$$ - {w_x} + {T_\mathsf{σ}} = M{a_{cm}}$$

 

$$ - Mg\,\mathsf{ημ\,}θ + {T_\mathsf{σ}} = M{a_{cm}}$$

$$(1)$$

Για την περιστροφική κίνηση ισχύει

$$\sum {τ_\mathrm{cm}} = I_\mathrm{cm}a_\mathsf{γων} $$

Επιλέγοντας ως θετική φορά την δεξιόστροφη φορά περιστροφής έχουμε

$$-T_\mathsf{σ}R=\frac{1}{2}MR^2a_\mathsf{γων}$$

Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται ισχύει $a_\mathrm{cm}=a_\mathsf{γων}R$ οπότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται

 

$$-T_\mathsf{σ}=\frac{1}{2}Ma_\mathrm{cm}$$

$$(2)$$

Προσθέτωντας τις εξισώσεις $(1)$ και $(2)$ προκύπτει

$$- Mg\,\mathsf{ημ\,}θ=\frac{3}{2}Ma_\mathrm{cm}$$

 

$$a_\mathrm{cm}=-\frac{2}{3}g\,\mathsf{ημ\,}θ$$

$$(3)$$

Η ταχύτητα και η μετατόπιση θα δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις εξισώσεις

$$v=v_0+a_\mathrm{cm}t$$ $$v=v_0-\frac{2}{3}g\,\mathsf{ημ\,}θ\,t$$ και $$x=x_0+v_0t+\frac12a_\mathrm{cm}t^2$$ $$x=x_0+v_0t-\frac13g\,\mathsf{ημ\,}θ\,t^2$$
Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 08.11.19 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ταλαντώσεις και Κύματα

Ηλεκτρομαγνητισμός

Οπτική

 
Joomla Templates by Joomlashack