Seilias

Physics and Photography

Τα Δημοφιλέστερα του Μήνα

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Αν θέλετε να χρησιμοποιήσετε τις γραφικές παραστάσεις από τις προσομοιώσεις σε δικές σας εργασίες, να αποθηκεύσετε κάποια προσομοίωση ή να εκτυπώσετε ένα άρθρο κάντε κλικ εδώ για να δείτε την διαδικασία.

Για ενσωμάτωση αρχείων προσομοιώσεων στο Word-Excel-PowerPoint πατήστε εδώ


Σας Ευχαριστώ.

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Ποιός έχει το απόλυτο ρεκόρ στην ταχύτητα;

Το φως! κινείται με ταχύτητα 300.000 km/s. Βέβαια Ο Λούκυ Λούκ είναι πιο γρήγορος από την σκιά του αλλά εκεί η Φυσική ... σηκώνει ψηλά τα χέρια.

 
Ιούν
03
2009
Συμβολή Κυμάτων Εκτύπωση E-mail
(67 ψήφοι)

Μετακινείστε το κόκκινο σημείο με Drag and Drop και παρατηρήστε πως μεταβάλλεται το πλάτος ταλάντωσής του κοιτάζοντας κάτω δεξιά.


Πλήρη Οθόνη

Οι δύο πηγές Ο1 και Ο2 είναι σύμφωνες (Σύμφωνες ονομάζουμε δύο πηγές οι οποίες παρουσιάζουν σταθερή διαφορά φάσης. Στην περίπτωσή μας θεωρούμε ότι αυτή η σταθερή διαφορά φάσης είναι μηδέν) και την χρονική στιγμή t=0 αρχίζουν να ταλαντώνονται σύμφωνα με τις εξισώσεις

Μέσα στο μέσο διαδίδονται δύο κύματα που προέρχονται από τις πηγές Ο1 και Ο2. Τα δύο αυτά κύματα διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα (η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσο στο οποίο διαδίδεται). Ένα τυχαίο σημείο Σ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που καθορίζεται και από τα δύο κύματα που φτάνουν στο σημείο.Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συμβολή κυμάτων.

Έστω ότι το τυχαίο σημείο Σ απέχει απόσταση r1 από την πηγή Ο1 και r2 από την πηγή Ο2. Το κάθε κύμα που φτάνει στο σημείο Σ το αναγκάζει να εκτελέσει ταλάντωση που περιγράφονται από τις παρακάτω εξισώσεις αντίστοιχα

Αν r1>r2 τότε στο σημείο Σ φτάνει πρώτο το κύμα που προέρχεται από την πηγή Ο2. Στο χρονικό διάστημα μέχρι να φτάσει το πρώτο κύμα το σημείο Σ παραμένει ακίνητο μιας και κανένα κύμα δεν έχει φτάσει σε αυτό το σημείο για να το αναγκάσει να ταλαντωθεί. Στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από την στιγμή που έφτασε το πρώτο κύμα και μέχρι να φτάσει το δεύτερο κύμα το σημείο Σ αναγκάζεται να εκτελέσει ταλάντωση που οφείλεται αποκλειστικά από το πρώτο κύμα. Τέλος από την στιγμή που θα φτάσουν και τα δύο κύματα και έπειτα η ταλάντωση του σημείου οφείλεται και στα δύο κύματα. Έτσι αν οι χρονικές στιγμές που φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Σ είναι αντίστοιχα και θα ισχύει

Όταν

Όταν

Όταν

Ας διερευνήσουμε λίγο παραπάνω την τελευταία εξίσωση

Γνωρίζουμε από τα μαθηματικά ότι οπότε η τελευταία εξίσωση γράφεται

(1)

γενικά

Παρατηρούμε από την εξίσωση (1) ότι το τυχαίο σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της ίδιας συχνότητας με τις δύο πηγές αλλά με διαφορετικό πλάτος. Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Σ είναι

(2)

και κυμαίνεται μεταξύ του μηδενός και του 2Α ανάλογα με τις αποστάσεις r1 και r2. Συγκεκριμένα όταν

(3)

Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος τότε το σημείο Σ παραμένει ακίνητο.

(4)

Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το σημείο Σ θα ταλαντώνεται με το μέγιστό του πλάτος δηλ 2A.

Από τα μαθηματικά γνωρίζουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο σημεία είναι σταθερός αριθμός ονομάζεται υπερβολή. Έτσι τα σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα σχηματίζουν μια παραμετρική ομάδα υπερβολών (με παράμετρο το μήκος κύματος λ). Το ίδιο συμβαίνει και με τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος τα οποία σχηματίζουν μια άλλη ομάδα υπερβολών.

Ας εξετάσουμε τα σημεία που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Κάθε υπερβολή συναντά το ευθύγραμμο τμήμα Ο1Ο2 σε ένα σημείο, έτσι ο αριθμός των υπερβολών που σχηματίζονται είναι ίσος με τον αριθμό των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μεταξύ των σημείων Ο1Ο2.

Ας εκφράσουμε τις αποστάσεις αυτών των σημείων από τις πηγές Ο1 και Ο2 σε συνάρτηση με το μήκος κύματος και την απόσταση d του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος Ο1Ο2

Για ένα οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Ο1Ο2 όπως προκύπτει και από το σχήμα ισχύει

Για τα σημεία που ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος ισχύει επίσης

με πρόσθεση των δύο παραπάνω εξισώσεων κατά μέλη προκύπτει

όπου xκ η θέση ενός οποιαδήποτε σημείου μεταξύ του ευθύγραμμου τμήματος Ο1Ο2 (με σύστημα αναφοράς το μέσου του ευθύγραμμου τμήματος Ο1Ο2 με θετική φορά από την πηγή Ο1 προς την πηγή Ο2) που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 2Α (κοιλία) . Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι :

  • Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος (κοιλίες) απέχουν μεταξύ τους (όπως και οι κοιλίες στα στάσιμα κύματα)
  • Μπορούμε να "αριθμήσουμε" τις υπερβολές. Η υπερβολή που περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος (εκφυλίζεται σε ευθεία) είναι η υπερβολή με κ=0. Ο αμέσως επόμενος κλάδος της υπερβολής στην θετική πλευρά του άξονα (προς την πλευρά της πηγής Ο2) έχει κ=1 ενώ ο πρώτος κλάδος της υπερβολής που βρίσκεται στην αρνητική πλευρά του άξονα (προς την πλευρά της Ο1) έχει κ=-1 κλπ.


  • Για να βρούμε τώρα το πλήθος των κλάδων των υπερβολών που βρίσκονται μεταξύ του Ο1Ο2 (το οποίο είναι ίσο με το πλήθος των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος μεταξύ των σημείων Ο1 και Ο2) δεν έχουμε παρά να βρούμε πόσα μισά μήκη κύματος χωράνε από το σημείο Ο και μέχρι το σημείο Ο2 να διπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό (άλλες τόσες υπάρχουν και μεταξύ ΟΟ1) και να προσθέσουμε και μια μονάδα (που αντιστοιχεί στην υπερβολή που περνά από το σημείο Ο). Αν δεν θέλουμε να μετράμε μπορούμε να υπολογίζουμε

το σύμβολο [χ] στα μαθηματικά σημαίνει το ακέραιο μέρος ενός αριθμού x που είναι ο μικρότερος ακέραιος που δεν τον ξεπερνά π.χ. [6,3]=6 , [2,6]=2

Με παρόμοια ανάλυση μπορούμε να βρούμε για τους δεσμούς ότι

Με πρόσθεση κατά μέλη

 

  • Τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που παραμένουν ακίνητα (δεσμοί) απέχουν μεταξύ τους (όπως και οι δεσμοί στα στάσιμα κύματα). Ο πρώτος δεσμός που βρίσκεται στην θετική φορά (πλευρά της πηγής Ο2) απέχει από το μέσο Ο της απόστασης Ο1Ο2 απόσταση επόμενος    ο επόμενος κ.ο.κ .
  • Με παρόμοιο τρόπο αριθμούνται και οι υπερβολές δηλαδή ο πρώτος κλάδος υπερβολής που περνά από τον πρώτο δεσμό στην πλευρά της πηγής Ο2 έχει κ=0 ενώ αυτός ο κλάδος που περνά από τον πρώτο δεσμό στην πλευρά της πηγής Ο1 έχει κ=-1 κλπ.
  • Επίσης η απόσταση ενός δεσμού και μιας κοιλίας είναι

Όλα τα παραπάνω θυμίζουν στάσιμα κύματα το οποίο είναι φυσιολογικό μια και στο ευθύγραμμο τμήμα Ο1Ο2 έχουμε δύο κύματα που διαδίδονται με αντίθετες ταχύτητες και φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Ο. Δηλαδή στον άξονα x'x η ταλάντωση που εκτελούν τα σημεία είναι ισοδύναμη με την ταλάντωση που θα εκτελούσαν αν είχαμε να διαδίδονται δύο κύματα της μορφής


Επίλογος

Μετά τα κουραστικά (αλλά γοητευτικά) μαθηματικά μπορούμε να πούμε ότι

"αν σε κάποιο σημείο του μέσου τα δύο κύματα φτάνουν με αντίθεση φάσης το σημείο παραμένει ακίνητο. "

Δηλαδή η μια πηγή θα ήθελε να το μετατοπίσει κατά d ενώ η άλλη κατά -d έτσι τελικά το σημείο παραμένει ακίνητο. Κανένα πρόβλημα. Κύμα όμως είναι και το φως καθώς επίσης και ο ήχος έτσι σύμφωνα με τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι

φως + φως = σκοτάδι

Μπορούμε όμως να το ισχυριστούμε; Σας πείθει η Φυσική ότι ισχύει κάτι τέτοιο; Μπορούμε δηλαδή να πάρουμε δύο φακούς (αυτούς που χρησιμοποιούμε το βράδυ για να φωτίζουμε) να σημαδέψουμε ένα σημείο και μόλις συμπέσουν οι φωτεινές δέσμες κατά ένα μαγικό τρόπο να γίνει σκοτάδι !!!

Η απάντηση είναι μάλλον όχι. Τι δεν ισχύει; Μήπως δεν ισχύει αυτό που βλέπουμε στην καθημερινή ζωή; Και τα δύο είναι σωστά. Ο λάκκος βρίσκεται στο ξεκίνημα των παραπάνω. Εκεί υποθέσαμε ότι οι δύο πηγές είναι σύμφωνες. Στο δικό μας κομμάτι αυτό με τους δύο φακούς οι δύο φωτεινές δέσμες ΔΕΝ είναι σύμφωνες η διαφορά φάσης τους είναι τυχαία με αποτέλεσμα να μη βλέπουμε αυτό που περιμένουμε. Η μέση ένταση της ακτινοβολίας είναι ίση με το άθροισμα των εντάσεων των δύο επιμέρους εντάσεων των ακτινοβολιών. (Δοκιμάστε δύο άτομα να ρίχνετε βοτσαλάκια σε μια ήρεμη λιμνούλα και να περιμένετε να δείτε κροσσούς συμβολής. Αμ δε! Το μόνο που θα πετύχετε είναι το πολύ πολύ να βραχείτε). Και πώς φτιάχνουμε δύο σύμφωνες πηγές; Παίρνουμε μια και την χωρίζουμε στην μέση!!! (κάτι σαν τα ομόζυγα δίδυμα). Τώρα θα δούμε σκοτάδι; Η απάντηση είναι και πάλι όχι (τι είχες Γιάννη τι είχα πάντα. Τώρα πάλι τι φταίει;) σας αφήνω να το βρείτε μόνοι σας. Καλώς ήλθατε στην πραγματική Φυσική. Οι νόμοι της Φυσικής είναι εκεί. Η φύση είναι εκεί, έτοιμη να σου απαντήσει. Κάντης την σωστή ερώτηση και θα πάρεις την απάντηση.

 

+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 
+/- Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
thodwrhs katsigiannis   |85.72.32.xxx |05-Dec-2011 16:12:07
E3airetikh h douleia sas ! bravo! eimai mathiths ths g lukeiou kai boithane para polu ta sxhmata kai oi episumanseis sas !
seilias   |94.69.166.xxx |28-Nov-2011 14:22:25
Ευχαριστώ για την παρατήρηση. Διορθώθηκε
Κωνσταντίνος  - A   |94.66.225.xxx |27-Nov-2011 15:52:29
εξαιρετική η δουλειά σας με έχει βοηθήσει να κατανοήσω πολλά φαινόμενα BRAVO
μια μικρή επισήμανση
Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται
ότι όταν η διαφορά των αποστάσεων του σημείο Σ από τις πηγές είναι ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος τότε το σημείο Σ
παραμένει ακίνητο.
εδώ ξεχαστήκατε φαίνεται καθώς πληκτρολογούσατε

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ηλεκτρομαγνητισμός

 
Joomla Templates by Joomlashack