Seilias

Physics and Photography

Σχόλια - Παρατηρήσεις

Για σχόλια,  παρατηρήσεις,  διορθώσεις, αβλεψίες κλπ μη διστάσετε να επικοινωνήστε μαζί μου. Όσες προσομοιώσεις φέρουν το όνομά μου είναι ελεύθερες προς χρήση από όλους, αρκεί να μην αλλαχθούν τα σύμβολα πνευματικής ιδιοκτησίας. Τα αρχεία μπορείτε να τα βρείτε στο menu Download.
 

Σύνδεση






Ξεχάσατε τον κωδικό σας;

Με δυο λόγια

Ας υποθέσουμε πως ένα παγόβουνο έχει ύψος 100 μέτρα, πόσα μέτρα άραγε θα φαινόταν πάνω από την θάλασσα?


Μόνο τα 10m, τα υπόλοιπα 90m θα ήταν κάτω από την θάλασσα!  (Αυτό δικαιολογεί την έκφραση "Η κορυφή του παγόβουνου")

 
Αρχική arrow Φυσική arrow Μηχανική arrow Δυνάμεις στην άρθρωση κατά την περιστροφή μιας ράβδου - HTML5
Δεκ
27
2008
Δυνάμεις στην άρθρωση κατά την περιστροφή μιας ράβδου - HTML5 Εκτύπωση E-mail
(14 ψήφοι)
Με την συγκεκριμένη προσομοίωση μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση μιας αρθρωμένης ράβδου. Σχεδιάζονται και υπολογίζονται οι δυνάμεις στην άρθρωση. Η αρχική τιμή της γωνιακής ταχύτητας είναι τέτοια ώστε η ράβδος μόλις να κάνει ανακύκλωση. Μπορούμε να σύρουμε την ράβδο για να αλλάξουμε την αρχική της θέση.

Ποιες είναι οι δυνάμεις που εμφανίζονται στην άρθρωση μιας ράβδου που κάνει στροφική κίνηση κάτω από επίδραση της βαρύτητας;

Ας ξεκινήσουμε με τον νόμο του Νεύτωνα στην στροφική κίνηση

Το άκρο $Α$ είναι ακίνητο επομένως

$$\left(\frac{dL}{dt}\right)_Α=\left(\sum τ\right)_Α$$ $$I_Α\frac{dω}{dt}=τ_w$$ $$I_Α\frac{dω}{dt}=-mgx$$ $$\frac{1}{3}m\ell^2\frac{dω}{dt}=-\frac{mg\ell}{2}\mathsf{\,συν\,}θ$$

 

$$\frac{dω}{dt}=-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ$$ $$(1)$$

Το κέντρο μάζας του συστήματος εκτελεί κυκλική κίνηση οπότε η επιτάχυνση του θα έχει δύο συνιστώσες την κεντρομόλο επιτάχυνση με τιμή

$$a_\mathsf{κ}=\frac{υ^2}{r}=ω^2r=\frac{ω^2\ell}{2}$$

και την επιτρόχιο επιτάχυνση με τιμή

$$a_\mathsf{ε}=\frac{dυ}{dt}=r\frac{dω}{dt}=\frac{\ell}{2}\frac{dω}{dt}$$ $$a_\mathsf{ε}=\frac{\ell}{2}\left(-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ\right)$$ $$a_\mathsf{ε}=-\frac{3g}{4}\mathsf{\,συν\,}θ$$

Γνωρίζουμε ότι η κίνηση του κέντρο μάζας περιγράφεται από τις εξισώσεις του νόμου του Νεύτωνα με εφαρμογή σε άξονες με διευθύνσεις κάθετα στην ράβδο και παράλληλα στην ράβδο προκύπτει

$$\sum F_\mathsf{κ}=ma_\mathsf{κ}$$ $$F_r+mg\mathsf{\,ημ\,}θ=mω^2\frac{\ell}{2}$$

 

$$F_r=mω^2\frac{\ell}{2}-mg\mathsf{\,ημ\,}θ$$ $$(2)$$

και για την εφαπτομενική συνιστώσα

$$\sum F_\mathsf{ε}=ma_\mathsf{ε}$$ $$F_\mathsf{ε}-mg\mathsf{\,συν\,}θ=m\left(-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ\right)$$ $$F_\mathsf{ε}=mg\mathsf{\,συν\,}θ-\frac{3mg}{4}\mathsf{\,συν\,}θ$$

 

$$F_\mathsf{ε}=\frac{1}{4}mg\mathsf{\,συν\,}θ$$ $$(3)$$

Στο τελευταίο αποτέλεσμα μπορούσαμε να καταλήξουμε και λίγο διαφορετικά. Έχουμε την δυνατότητα να εφαρμόσουμε τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα για την στροφική κίνηση ως προς το κέντρο μάζας της ράβδου. Τότε

$$\left(\frac{dL}{dt}\right)_{\rm {cm}}=\left(\sum τ\right)_{\rm {cm}}$$ $$I_\mathrm {cm}\frac{dω}{dt}=-F_\mathsf {ε}\frac{\ell}{2}$$

Από την $(1)$ έχουμε

$$\frac{1}{12}m\ell^2\left(-\frac{3g}{2\ell}\mathsf{\,συν\,}θ\right)=-F_\mathsf {ε}\frac{\ell}{2}$$ $$F_\mathsf{ε}=\frac{1}{4}mg\mathsf{\,συν\,}θ$$

Άσκηση

Ποιά είναι η ελάχιστη γωνιακή ταχύτητα που πρέπει να έχει η ράβδος στο κατώτερό της σημείο ώστε να μπορέσει να κάνει ανακύκλωση.

Λύση

Όπως είδαμε και παραπάνω η συνιστάμενη ροπή είναι μεταβλητή επομένως η χρήση των εξισώσεων του Νεύτωνα για την υπολογισμό της γωνιακής ταχύτητας δεν θα οδηγήσει σε λύση. Γι αυτό χρησιμοποιούμε τη διατήρηση της Ενέργειας.

Λαμβάνοντας ως επίπεδο αναφοράς δυναμικής ενέργειας το επίπεδο που περνά από τον κέντρο μάζας της ράβδου όταν αυτή βρίσκεται στο κατώτερο σημείο και επειδή θέλουμε την ελάχιστη γωνιακή ταχύτητα για να κάνει ανακύκλωση στο ανώτερο σημείο η ράβδος αρκεί να φτάσει να μηδενική ταχύτητα οπότε

$$K_1+U_2=K_2+U_2$$ $$\frac{1}{2}Iω^2-mg\frac{\ell}{2}=0+mg\frac{\ell}{2}$$ $$\frac{1}{2}\frac{1}{3}m\ell^2ω^2=mg\ell$$ $$ω=\sqrt{\frac{6g}{\ell}}$$ με $g=10\ \mathrm{m/s^2},\ \ell=2\ \mathrm{m}$ έχουμε $ω=5.48\ \mathrm{rad/s}$
Σχόλια
Προσθήκη νέου Αναζήτηση
+/-
Γράψτε σχόλιο
Όνομα:
Email:
 
Τίτλος:
 

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Τελευταία ανανέωση ( 08.11.19 )
 
< Προηγ.   Επόμ. >

Φυσική

Μηχανική

Ταλαντώσεις και Κύματα

Ηλεκτρομαγνητισμός

Οπτική

 
Joomla Templates by Joomlashack